Skattning av talet e

Talet \(e\) är det enda tal för vilket följande samband gäller:

$$\\f(x)=e^{x}\\ f'(x)=e^{x}=f(x)$$

Det är just detta samband, att derivatan av funktionen är lika med funktionen själv som gör talet \(e\) så användbart.

Beräkna skattningar av talet \(e\) genom att använda derivatans definition:

$$f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

då \(h\) går mot noll.

Gör en tabell med kolumnerna "\(h\)" och "Skattning av \(e\)", för \(h = 10^{-n}\), där \(n=1,2,3,4,5,\dots\) vilket get att \(h = 0,1, 0,01,\dots\)

Hur många decimalers noggrannhet fås för \(h = 0.00001\)?

 

Lösning

$$\begin{align}f'(x)= & \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \\ & \frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}= \\ & \frac{e^{x}\cdot e^{h}-e^{x}}{h}= \\ & \frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}=e^{x}\end{align}$$

Det innebär att:

$$\begin{align} & \frac{(e^{h}-1)}{h}=1\\ & e^{h}-1=h\\ & e^{h}=1+h\\ & e=(1+h)^{\frac{1}{h}}\end{align}$$

Vi har nu uttryckt \(e\) som en funktion av \(h\) och kan få fram skattningar av \(e\) genom att sätta in olika värden på \(h\). Det ger följande tabell:

h	Skattning av e
0.1	2.59374
0.01	2.70481
0.001	2.71692
0.0001	2.71815
0.00001	2.71827

Talet \(e = 2.71827\) avrundat till 5 decimaler.

Det innebär att skattningen av \(e\) för \(h = 0,00001\) är korrekt med 4 decimalers noggrannhet.

4 decimalers noggrannhet.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.