Hur stor är klassen?
Ola förbereder sig inför nationella proven i matematik genom att lösa gamla nationella prov. Han kör dock fast på en klurig uppgift. Kan du hjälpa honom att lösa den?
En lärare hade rättat alla prov i en klass utom ett som kommit på villovägar. Ett tag senare hittade hon provet bland en hög med diverse papper. Efter att ha rättat det kunde hon konstatera att medelpoängen ökade med 0,75 poäng och att resultatet på det provet var 18 poäng bättre än medelpoängen (alla proven inräknade). Hur stor var klassen?
Lösning
Inför följande beteckningar
\(n\) = antalet elever i klassen
\(m_n\) = medelvärdet för alla \(n\) eleverna
\(m_{n-1}\) = medelvärdet för alla eleverna förutom den vars prov först var på villovägar
\(x_n\) = provresultatet för den elev vars prov kom på villovägar
Vi kan nu uttrycka informationen i uppgiftslydelsen formelmässigt:
$$\\m_{n}-m_{n-1}=0,75\\\\ x_{n}-m_{n}=18$$
Det finns (minst) två sätt att lösa denna uppgift. En ganska kort lösning som bygger på att man kommer på ett visst samband och en lite längre. Vi börjar med den korta lösningen.
Korta lösningen
Eftersom provresultatet \(x_n\) gör att medelvärdet ökar med 0,75 poäng, måste följande samband gälla:
$$x_{n}=m_{n-1}+0,75n$$
Motivering: om \(x_n\) hade varit lika med \(m_{n-1}\) hade ju \(m_n\) varit lika med \(m_{n-1}\), men om vi lägger på 0,75 på varje tal \((x1, x2, ... )\) och vi har sammanlagt \(n\) tal, d.v.s. summan ökar med \(0,75n\), så kommer medelvärdet öka med 0,75, vilket uttryckts formelmässigt ovan.
Vi utgår från den andra ekvationen och sätter in \(m_n\) enligt den första ekvationen:
$$\\x_{n}-m_{n}=18\\\\ x_{n}-(m_{n-1}+0,75)=18$$
Vi sätter nu in uttrycket för \(m_{n-1}\) enligt den tredje ekvationen:
$$\\x_{n}-(x_{n}-0,75n+0,75)=18\\\\ 0,75n-0,75=18\\\\ 0,75(n-1)=18\\\\ n-1=\frac{18}{0,75}\\\\ n=24+1=25$$
Klassen består av 25 elever.
Långa lösningen
Vi definierar följande summa:
$$S_{k}=x_{1}+x_{2}+ .....+x_{k-1}+x_{k}$$
Vi får då:
$$\\m_{n-1}=\frac{S_{n-1}}{n-1}\\\\ m_{n}=\frac{S_{n}}{n}=\frac{x_{1}+x_{2}+ .....+x_{n-1}+x_{n}}{n}=\frac{S_{n-1}+x_{n}}{n}$$
Med hjälp av det andra uttrycket kan vi skriva om det ursprungliga sambandet:
$$\\x_{n}-m_{n}=18\\\\ x_{n}-\frac{S_{n-1}+x_{n}}{n}=18\\\\ \text{ multiplicera med n}\\\\ nx_{n}-S_{n-1}-x_{n}=18n$$
Vi utvecklar nu den andra ursprungliga ekvationen:
$$\\m_{n}-m_{n-1}=0,75\\\\ \frac{S_{n}}{n}-\frac{S_{n-1}}{n-1}=0,75\\\\ \frac{s_{n-1}+x_{n}}{n}-\frac{S_{n-1}}{n-1}=0,75\\\\ \text{ multiplicera med mgn}=n(n-1)\\\\ (n-1)(S_{n-1}+x_{n})-nS_{n-1}=0,75n(n-1)\\\\ nx_{n}-S_{n-1}-x_{n}=0,75n(n-1)\\\\ S_{n-1}=nx_{n}-x_{n}-0,75n(n-1)$$
Vi sätter nu in detta uttryck för \(S_{n-1}\) i nedanstående ekvation:
$$\\nx_{n}-S_{n-1}-x_{n}=18n\\\\ nx_{n}-(nx_{n}-x_{n}-0,75n(n-1))-x_{n}=18n\\\\ 0,75n(n-1)=18n\\\\ n(n-1)=24n\\\\ n^{2}-n-24n=0\\\\ n(n-25)=0$$
Produkten av två faktorer är lika med 0.
Första faktorn lika med 0 ger \(n = 0\) (ej giltig lösning, eftersom \(n \geq 2\)).
Andra faktorn lika med 0 ger:
$$\\n-25=0\\ n=25$$
Klassen består av 25 elever.
Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.