Rationella Uttryck

1. Förenkla följande uttryck:

a)  \(\frac{50x^2-8}{10x-4}\)

b)  \(\frac{2x^2+8x+8}{2x^2+4x}\)

2. Lös följande ekvationer:

a)  \(\frac{x+1}{3}-\frac{x}{4}=1\)

b)  \(\frac{5x}{6}+\frac{2x}{3}=9\)

3. För vilka värden på \(x\) är följande uttryck inte definierade?

a)  \(\frac{2x}{x-3}\)

b)  \(\frac{x^2-25}{x+2}\)

Lösning:

1 a)

$$\begin{align} & \frac{50x^{2}-8}{10x-4} = \frac{2(25x^{2}-4)}{2(5x-2)} = \\ & \frac{(5x+2)(5x-2)}{(5x-2)} = 5x+2\end{align}$$

1b)

$$\begin{align} & \frac{2x^{2}+8x+8}{2x^{2}+4x}=\frac{2(x^{2}+4x+4)}{2x(x+2)}= \\ & \frac{(x+2)(x+2)}{x(x+2)}=\frac{x+2}{x}= \\ & \frac{x}{x}+\frac{2}{x}=1+\frac{2}{x} \end{align}$$

 

2 a) För att lösa ekvation börjar vi med att sätta bråken på gemensamma bråkstreck. För att kunna göra det behöver vi först hitta en gemensam nämnare till de båda bråken. Första bråket har nämnaren 3 och den andra har nämnaren 4. Deras minsta gemensamma nämnare är 12. För att få denna gemensamma nämnare förlänger vi på följande vis:

$$\begin{align} \frac{(x+1)\color{red}{\cdot 4}}{3\color{red}{\cdot 4}}-\frac{x\color{red}{\cdot 3}}{4\color{red}{\cdot 3}} & =1 \\  \frac{4(x+1)}{12}-\frac{3x}{12} & =1\end{align}$$

Nu kan vi sätta ihop bråken och räkna ut resten på följande sätt:

$$\begin{align}\frac{4(x+1)}{12}-\frac{3x}{12} &  =1 \\ \frac{4x+4-3x}{12} & =1 \\ \frac{x+4}{12} & = 1 \\ \frac{x+4}{12} \color{red}{\cdot 12} & = 1\color{red}{\cdot 12}\\ x+4 & = 12\\ x & = 8 \end{align}$$

2 b) För att lösa ut ekvationen gör vi på liknande sätt som i 2a). Först hittar vi den minsta gemensamma nämnaren, som i dett fall är 12 eftersom \(6\cdot2=12\) och \(3\cdot 4=12\). Vi sätter sedan bråken på samma bråkstreck och räknar ut resten. Lösningen är således:

$$\begin{align} \frac{5x \color{red}{\cdot 2}}{6\color{red}{\cdot 2}}+\frac{2x\color{red}{\cdot 4}}{3\color{red}{\cdot 4}} & = 9\\ \frac{10x}{12}+\frac{8x}{12} & =9 \\ \frac{10x+8x}{12} & = 9\\ \frac{18x}{12}\color{red}{\cdot 12} & = 9 \color{red}{\cdot 12}\\ 8x &= 108 \\ x &= 6 \end{align}$$

 

3 a) Ett uttryck är inte definierat om man delar ett tal med noll. Vi letar därför efter det tal som gör att nämnaren i uttrycket blir noll. Nämnaren är \(x-3\) och när \(x=3\) blir denna nämnare noll. Därför är hela uttrycket inte definierat då \(x=3\).

3 b) Här letar vi också efter ett \(x\)-värde som gör att nämnaren blir noll. Nämnaren är \(x+2\) och detta blir noll då \(x=-2\). Därför är hela uttrycket inte definierat då \(x=-2\).