Räta linjens ekvation

Bestäm en ekvation för var och en av linjerna \(a\) och \(b\). Linjerna går genom vissa heltalskoordinater, använd dessa för att bestämma de räta linjernas ekvation. Bestäm även ekvationen för en linje \(c\), som är parallell med linje \(a\) och som går genom punkten \((0,3)\).

Lösning

Linje \(a\) går genom punkterna \((1,1)\) och \((5,4)\). Detta ger lutningen:

$$k_a=\frac{4-1}{5-1} = \frac{3}{4}$$

Vi sätter in en av punkterna i linjensekvation tillsammans med den uträknade lutningskoefficienten.

$$\begin{align} y & = kx+m \\ 1 & = \frac{3}{4}\cdot 1+m \\ m & = 1-\frac{3}{4} = \frac{1}{4}\end{align}$$

Ekvationen för linje \(a\) är: \(y = 0.75x + 0.25\)

Linje \(b\) går genom punkterna \((1,5)\) och \((3,1)\). Lutningskoefficienten är:

$$k_b = \frac{1-5}{3-1} = -\frac{4}{2} = -2$$

Punkten \((1,5)\) insatt i den räta linjens ekvation ger värdet på \(m\).

$$\begin{align} y & = kx+m \\ 5 & = -2\cdot 1+m \\ m & = 7 \end{align}$$

Ekvationen för linje \(b\) är \(y = -2x + 7\)

Vi ska nu bestämma en linje \(c\) som är parallell med linje \(a\). Linjer som är parallella har samma lutning, alltså har linje \(c\) lutningen \(k_c = 0.75\).

Linjen ska gå igenom punkten \((0,3)\) och vi använder detta för att beräkan \(m\).

$$\begin{align} y &=kx+m\\3&=0+m\\m&=3\end{align}$$

Linje \(c\) har ekvationen \(y = 0.75x + 3\)