Logaritmer
1. Lös följande ekvationer:
a) \(3\cdot9^x=\frac{1}{81}\)
b) \(4^x-40\cdot 2^x+256=0\)
c) \(\log(x-1)+\log(9x+1)=3\)
2. Antag att \(\log 5 =a\). Skriv \(\log 5000\) och \(\log 20\) uttryckt i \(a\).
Tips: \(5000=5\cdot1000\) och \(20=\frac{100}{5}\)
3. Värdet \(y\) kr på en dator efter \(x\) år från inköp ges med formeln \(y=C\cdot a^x\)
a) Då datorn var ny var den värd 8000 kr, men efter 3 år är den bara värd 2000 kr. Bestäm \(C\) och \(a\).
b) Efter hur lång tid är den värd 4000 kr?
Lösning:
1 a)
$$\begin{align} 3\cdot9^x & =\frac{1}{81} \\ \log(3\cdot9^x) & =\log\left(\frac{1}{81}\right) \\ \log3 + \log9^x & = \log1-\log81\\ \log3 + x\cdot \log9 & = -\log81\\ x & = \frac{\log 81-\log3}{\log9}\\ x & \approx -2.5 \end{align}$$
1 b) För att lösa denna ekvation använder vi oss av följande omskrivning:
$$4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2$$
och skriver ekvationen som:
$$(2^x)^2-40\cdot 2^x+256 = 0$$
Vi gör följande variabeltransformation \(t=2^x\) och skriver ekvationen som:
$$t^2-40t+256=0$$
Vi löser nu andragradsekvationen med hjälp av pq-formeln:
$$t=20\pm\sqrt{400-256}=20\pm12$$
Vilket ger lösningarna \(t_1=32\) och \(t_2=8\). Dessa lösningar stoppar vi tillbaka i variabeltransformationen \(t=2^x\) för att få ut \(x\). Kom ihåg att vi har två värden på \(t\) och får därför två värden på \(x\).
$$\begin{align} \text{Fall 1: } 2^x & =32 \\ 2^x & =2^5\\ x & = 5 \end{align}$$
$$\begin{align} \text{Fall 2: } 2^x &=8\\ 2^x & = 2^3\\ x & = 3 \end{align}$$
1 c)
\(\log (x-1)\) är definierat för \(x>1\). Dår är även \(9x+1>0\), så \(\log(9x+1)\) är definierat för \(x>1\).
Vi kommer i nästa steg använda oss av följande räkneregel: \(\log x + \log y = \log (x\cdot y)\). Vi vet även att \(\log(1000)=3\), då \(10^3=1000\), vilket vi också använder oss av i nästa steg.
Vi skriver om ekvationen som:
$$\log((x-1)(9x+1))=\log (1000)$$
och forsätter uträkningen på följande vis:
$$\begin{align} 10^{\log((x-1)(9x+1))} & = 10^{\log(1000)}\\ (x-1)(9x+1) & = 1000\\ 9x^2-8x-1001 & = 0 \end{align}$$
Nu använder vi oss av pq-formeln för att lösa ut \(x\):
$$\begin{align} x = & \frac{4}{9}\pm \sqrt{\frac{16}{81}+\frac{1001}{9}} = \\ & \frac{4}{9}\pm \sqrt{\frac{16}{81}+\frac{9009}{81}} = \\ & \frac{4}{9}\pm \frac{95}{9}\end{align}$$
$$\text{Fall 1: } x_1=-\frac{91}{9} \text{ uppfyller inte olikheten } x>1$$
$$\text{Fall 2: } x_2=11 \text{ uppfyller olikheten } x>1 \text{och är därför svaret.}$$
2)
Vi vill uttrycka \(\log 5000\) med \(a\), givet att \(\log5=a\).
Vi utnyttjar att:
$$\begin{align} & 5000=5\cdot1000\\ & \log1000 =3 \text{, då } 10^3=1000 \end{align}$$
Vi får då:
$$\begin{align} & \log 5000 = \log5\cdot 1000= \\ & \log5+\log1000=a+3\end{align}$$
Vilket betyder att \(\log 5000\) uttryck i \(a\) är \(a+3\).
Vi vill nu uttrycka \(\log20\) med \(a\), givet att \(\log 5=a\).
Vi utnyttjar att:
$$\begin{align} & \frac{100}{5}=20 \\ & \log100=2 \text{, då } 10^2=100 \end{align}$$
Vi får då:
$$\begin{align} & \log20=\log\frac{100}{5} = \\ & \log100-\log5 = 2-a \end{align}$$
Vilket betyder att \(\log 20\) uttryckt \(a\) är \(2-a\).
3a)
En dators värdeminskning ges av \(y=C\cdot a^x\). Vi börjar att räkna ut \(C\):
$$\begin{align} & \text{ då }x=0 \text{ är } y=8000 \\ & 8000=C\cdot a^0 \\ & C=8000 \end{align}$$
Vi räknar nu ut \(a\):
$$\begin{align} & \text{ då } x=3 \text{ är } y=2000\\ & 2000=8000\cdot a^3 \\ & a^3=\frac{2000}{8000}=\frac{1}{4} \\ & a= \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\end{align}$$
3 b)
Vi ska nu bestämma tiden \(x\) då datorn är värd 4000 kr.
Ekvationen för en datorn värdeminskning är \(y=C\cdot a^x\). Vi vet att \(y=4000\), \(C=8000\) och \(a=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\). Lägger vi in värdena i ekvationen får vi följande:
Vi löser ut \(x\), som är tiden, ur denna ekvation. För att förenkla skrivandet behåller vi variabeln \(a\) i bokstavsform:
$$\begin{align} & 4000=8000\cdot a^x\\ & a^x=\frac{4000}{8000}=\frac{1}{2} \\ & \log a^x = \log\frac{1}{2} \\ & x\cdot\log a=\log\frac{1}{2}\\ & x=\frac{\log\frac{1}{2}}{\log a}\approx 1.5\end{align}$$
Alltså, efter 1.5 år är datorn värd 4000 kr.