Ränta på ränta-effekten

Varje år sätts 2,5% av inkomsten (på inkomster upp till 7,5 inkomstbasbelopp, motsvarade en månadslön på ca. 30 000 kr år 2008 före avdrag för allmän pensionsavgift) in på ett PPM-konto (PremiePensionsMyndigheten). Var och en väljer sedan i vilka fonder dessa pengar ska placeras.

Aktuellt värde och värdeutveckling fås genom att logga in på följande sida: https://secure.ppm.nu/Inloggning.html.

Det kan låta lite med 2,5% av inkomsten, men det blir mycket pengar i slutändan tack vare ränta på ränta-effekten eftersom pengarna ökar i värde under lång tid.

Ahmed och Oscar är båda 25 år gamla och har en månadslön på 23 000 kr. Deras första insättning på PPM-kontot kommer göras nu och den sista om exakt 40 år (när de fyller 65 år).

Vi antar att för både Ahmed och Oscar gäller att de kommer ha en löneutveckling på 3% per år. Vi antar vidare att inflationen kommer bli 2%. Ahmed lyckas bättre med sina placeringar och får en genomsnittlig avkastning på PPM-kontot på 8%, medan Oscar får en genomsnittlig avkastning på 4%.

Hur mycket pengar kommer finnas på Ahmeds respektive Oscars PPM-konto vid 65 års ålder, men omräknat till dagens penningvärde? Detta kallas för nuvärde.

Omräkning till dagens penningvärde görs genom att dividera med faktorn (1+2%)⁴⁰ (inflationen antas vara 2% och det är 40 år kvar till de fyller 65).

Lösning

Ahmed och Oscar har en årsinkomst på 23 000 ∙ 12 = 276 000 kr.

Det innebär att 276 000 ∙ 2,5% = 6 900 kr kommer sättas in på deras konto det första året.

Året därpå kommer 6 900 ∙ (1+3%) = 6 900 ∙1,03 = 7 107 kr sättas in.

Låt \(S_A\) vara lika med kapitalet vid 65 års ålder för Ahmed och \(D_A\) är nuvärdet av \(S_A\), d.v.s.

$$D_A = \frac{S_A}{1,02^{40}}$$

$$\begin{align} S_{A}= & 6900\cdot 1,03^{0}\cdot 1,08^{40}+6900\cdot 1,03^{1}\cdot 1,08^{39}+...+\\ & 6900\cdot 1,03^{39}\cdot 1,08^{1}+6900\cdot 1,03^{40}\cdot 1,08^{0}\end{align}$$

Vi noterar att detta ser ut som en geometrisk summa. Den kan allmänt skrivas som:

$$\begin{align}S_{n}= &a_{1}+a_{1}\cdot k+a_{1}\cdot k^{2}+...+a_{1}\cdot k^{n-1}=\\ = &\frac{a_{1}\cdot (1-k^{n})}{1-k} \text{, då }k\neq 1\end{align}$$

För att kunna skriva om \(S_A\) till samma form som den geometriska summan måste vi först identifiera \(k\) och \(a_1\).

$$\begin{align}k= & \frac{6900\cdot 1,03^{1}\cdot 1,08^{39}}{6900\cdot 1,03^{0}\cdot 1,08^{40}} \\= & 1,03^{1-0}\cdot 1,08^{39-40} \\= &1,03^{1}\cdot 1,08^{-1} \\= & \frac{1,03}{1,08}\end{align}$$

Eftersom vi har en summa av 41 termer i \(S_A\) inses att \(n = 41\), vilket innebär att \(S_A = S_{41}\).

$$a_{1}=6900\cdot 1,03^{0}\cdot 1,08^{40}=6900\cdot 1\cdot 1,08^{40}$$

Ahmed kommer alltså ha ca. 2,8 miljoner kr på sitt PPM-konto vid 65 års ålder. Omräknat till dagens penningvärde motsvarar det:

$$\begin{align}S_{A}= & S_{41}=\frac{a_{1}\cdot (1-k^{41})}{1-k}\\= & \frac{6900\cdot 1,08^{40}\cdot (1-(\frac{1,03}{1,08})^{41})}{1-\frac{1,03}{1,08}}\\=&2774157 \text{ kr}\end{align}$$

För att räkna ut motsvarande värde för Oscar (\(S_O\)), behöver vi bara ändra avkastningen från 8% till 4%.

$$\begin{align}S_{O}=&S_{41}=\frac{a_{1}\cdot (1-k^{41})}{1-k}\\=&\frac{6900\cdot 1,04^{40}\cdot (1-(\frac{1,03}{1,04})^{41})}{1-\frac{1,03}{1,04}}\\=&1126882\text{ kr}\end{align}$$

Oscar kommer alltså ha ca. 1,1 miljoner kr på sitt PPM-konto vid 65 års ålder. Omräknat till dagens penningvärde motsvarar det:

$$D_{O}=\frac{S_{O}}{1,02^{40}}=\frac{1126882}{2,20804}=510354$$

Vi noterar att Ahmed kommer ha 146% större behållning än Oscar på sitt PPM-konto vid 65 års ålder omräknat till dagens penningvärde.

Ahmed kommer ha 1,3 miljoner kronor och Oscar kommer ha 0,5 miljoner kr på respektive PPM-konto vid 65 års ålder omräknat till dagens penningvärde.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.