Härled derivatan av x^n

Visa att om \(f(x) = x^n\), där \(n\) är ett positivt heltal så är derivatan \(f'(x) = nx^{n-1}\) genom att använda derivatans definition:

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Lösning

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}$$

Vi börjar med att utveckla termen \((x+h)^n\):

$$\begin{align}(x+h)^{n}= & (x+h)\cdot (x+h)\cdot ...\cdot (x+h) \text{ ,n faktorer}\\ (x+h)^{n}= & a_{0}\cdot x^{n}\cdot h^{0}+a_{1}\cdot x^{n-1}\cdot h^{1}+...+\\ & a_{n-1}\cdot x^{1}\cdot h^{n-1}+a_{n}\cdot x^{0}\cdot h^{n}\\ (x+h)^{n}= & a_{0}\cdot x^{n}+a_{1}\cdot x^{n-1}\cdot h+...+ \\ & a_{n-1}\cdot x\cdot h^{n-1}+a_{n}\cdot h^{n}\end{align}$$

Vi ska nu identifiera koefficienterna \(a_0, a_1, ... , a_{n-1}, a_n\).

\(a_0\) måste vara lika med 1 eftersom det bara finns en term där vi multiplicerat variabeln \(x\) i varje faktor. Av symmetriskäl gäller detsamma för termen \(a_n\) som följaktligen också är lika med 1.

\(a₁ = n\) eftersom det finns \(n\) olika sätt att välja ut \(x\) från \((n-1)\) faktorer och \(h\) från 1 faktor. Av symmetriskäl gäller detsamma för termen \(a_{n-1}\) som följaktligen också är lika med \(n\).

Vi kan alltså skriva \((x+h)^n\) enligt följande:

$$\begin{align}(x+h)^{n}= & 1\cdot x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot h+...+n\cdot x\cdot h^{n-1}+1\cdot h^{n}\\ (x+h)^{n}= & x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot h+...+n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^{n}\end{align}$$

Vi kan nu sätta in uttrycket ovan i formeln för derivatan:

$$\begin{align}f'(x)= & \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^{n}+n\cdot x^{n-1}\cdot h+...+n\cdot x\cdot h^{n-1}+h^{n}-x^{n}}{h} \\=& \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h\cdot (n\cdot x^{n-1}+a_{2}\cdot x^{n-2}\cdot h+a_{3}\cdot x^{n-3}\cdot h^{2}+...)}{h}\\= & \lim_{h\rightarrow 0}n\cdot x^{n-1}+a_{2}\cdot x^{n-2}\cdot h+a_{3}\cdot x^{n-3}\cdot h^{2}+... \\ = & n\cdot x^{n-1} \end{align}$$

V.S.V.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.