Optimal hästhage

Linda bor ute på landet och har köpt in 4 km stängsel till en hästhage som hon ska sätta upp åt sin häst. Hon har tillgång till ett stort fält så hon kan själv välja form på hagen. Hon har bestämt sig för att hagen ska ha en rektangulär form, men hon vet inte vilket förhållande hon ska välja mellan sidorna. Slutligen bestämmer hon sig för att hon vill att området i hästhagen ska bli så stort som möjligt. Hjälp Linda att räkna ut förhållande mellan längden och höjden i hästhagen och beräkna den maximala arean för hästhagen.

Lösning

Vi kallar hästhagens längd för \(x\) (km) och höjden för \(y\) (km) och omkretsen för \(O\).

\(O = 4\) enligt uppgiften.

$$O=2x+2y=4$$

Vi kallar hästhagens area för \(A\). Vi kan nu ställa upp ett uttryck för \(A\):

$$A=x\cdot y$$

Vi uttrycker nu \(y\) i \(x\) och sätter in i formeln för arean:

$$A=x\cdot y=x\cdot \left ( \frac{4-2x}{2} \right )=x\cdot (2-x)=2x-x^{2}$$

Maximum till \(A\) fås genom att sätta derivatan av \(A\) med avseende på \(x\) lika med 0.

$$\\A{}'(x)=\frac{d}{dx}(2x-x^{2})=2-2x=0\\\\ 2x=2\\ x=1$$

Vi sätter nu in lösningen för \(x\) i uttrycket för \(y\):

$$y=\frac{4-2x}{2}=\frac{4-2\cdot 1}{2}=\frac{2}{2}=1$$

Eftersom \(x\) och \(y\) är lika stora är förhållandet mellan längden och höjden 1:1 (d.v.s. området har kvadratisk form).

Slutligen sätter vi in värdena i uttrycket för arean:

$$A=x\cdot y=1\cdot 1=1$$

Förhållandet mellan längden och höjden är 1:1 och den maximala arean är 1 km².

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.