Härled derivatan av kx^p

Härled derivatan av f(x) = kx^p där k och p är konstanter och p≠0 genom att skriva om f(x) på formen e^u(x) och använda kedjeregeln:

$$\frac{d}{dx}g(h(x))=g{}'(h(x))\cdot h{}'(x)$$

tillsammans med derivatan för ln x:

$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$

 

Lösning

$$\begin{align} & e^{u(x)}=kx^{p} \\ & \ln e^{u(x)}= \ln kx^{p} \\ & u(x)= \ln k+p\cdot \ln x \end{align}$$

Vi kan nu beräkna derivatan av f(x):

$$\begin{align} & f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}e^{u(x)}=\\ & \left \{ \text{Kedjeregeln}\right \}=e^{u(x)}\cdot u'(x)= \\ & e^{u(x)}\cdot \frac{d}{dx}(\ln k+p\cdot \ln x)= \\ & e^{u(x)}\cdot (p\cdot \frac{1}{x})=e^{u(x)}\cdot \frac{p}{x} \\ & f(x)\cdot \frac{p}{x}=kx^{p}\cdot \frac{p}{x}=pkx^{p-1} \end{align}$$

Derivatan av kx^p är pk∙x^p-1.

 

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.