التعبيرات التي تحتوي على قوى
في الأقسام الأولى من هذا الباب تعلمنا كيفية كتابة التعبيرات التي تحتوي على متغيرات وكيفية ضرب الأعداد فـي الأقواس. في الأبواب السابقة من الصف التاسع أيضا تعلمنا كيف يمكننا كتابة عمليات الضرب المتكرر باستخدام القوى.
في هذا القسم سنرى أيضا كيف يمكننا الاستفادة من القوى عند ضرب متغيرات فـي تعبيرات رياضية.
القوى - إعادة قصيرة
القوة هي طريقة لكتابة الضرب المتكرر على سبيل المثال بدلا من كتابة
\( 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\)
يمكننا استخدام القوى وكتابة
\( {2}^{5}\)
في هذه القوة الــ 2 هي الأساس والــ 5 هي الأس. الأساس هو العدد الذي نضربه في نفسه والأس هو عدد مرات ضرب الأساس. بالتالي في المثال نضرب العامل 2 في نفسه خمس مرات.
قد نواجه أيضا قوى يكون في الأساس متغير كــ x مثلا. بنفس الطريقة التي كان فيها الأساس 2 يمكننا كتابة أن
\({x}^{5}=x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\)
التعبيرات التي تحتوي على قوى
سنتدرب الآن على كتابة وتبسيط التعبيرات التي تحتوي على قوى.
بَسّـط التعبيرات
a) \((2+x3)x \)
b) \((y5+4)y3\)
الحل:
a)
نستخدم قاعدة ضرب الأقواس ثم نبسط التعبير.
\(=(2+x3)x\)
\(=2\cdot x+x3\cdot x=\)
\(x2+x^{2}3=\)
هذا التعبير الذي حصلنا عليه يمكن كتابته بطريقة أخرى
\( x\cdot 2+x\cdot x\cdot 3\)
ولكن عادة ما تُستخدم القوى عندما يكون لدينا تعبيرات تحتوي على هذا النوع من الضرب المتكرر.
b)
أيضا في هذه الحالة سنستخدم قاعدة ضرب الأقواس فــي العامل الواقع أمام. ثم يمكننا تبسيط التعبير.
\(=(y5+4)y3\)
\(=y5\cdot y3+4\cdot y3=\)
\(={y}^{2}15+12y=\)
\(=y12+{y}^{2}15\)
في الخطوة الأخيرة أعدنا كتابة التعبير بحيث القوى 2 في الأول، من الطبيعي كتابة القوى الأكبر في بداية التعبيرات الرياضيات.
بَسّـط التعبير
\( (z-2)\cdot z4+z4\cdot (2+z)\)
يحتوي هذا التعبير على أربعة أقواس. بما أنه لا يمكننا تبسيط التعبيرات داخل الأقواس نبدأ بضرب z4 فيما ما بداخل الأقواس. ثم يمكننا تبسيط التعبير كالمعتاد.
نتذكر أنه لا يهم ترتيب العوامل عند إجراء الضرب لذا يمكننا كتابة الحد الأول في التعبير على النحو التالي:
\( (2+z)\cdot z4=z4\cdot (2+z)\)
لنبسط التعبير الأصلي بقدر الإمكان:
\(=(z-2)\cdot z4+(2+z)\cdot z4\)
\(=z\cdot z4-2\cdot z4+2\cdot z4+z\cdot z4=\)
\(={z}^{2}4-z8+z8+{z}^{2}4=\)
\(z16=\)
إذن وجد أن التعبير الأصلي يساوي z16.
اكتب تعبير لمساحة المستطيل
قاعدة هذا المستطيل هي \(5 + x2\) وحدة طول وارتفاعه x وحدة طول.
اكتب تعبير لمساحة المستطيل. ثم احسب مساحة المستطيل إذا كان \(10 = x\) أمتار.
الحل:
سابق تعلمنا أن مساحة المستطيل يمكن حسابها باستخدام الصيغة التالية
A = القاعدة \(\cdot \) الإرتفاع
باستخدام هذه الصيغة وتبسيط التعبير سنحصل على:
A = القاعدة \(\cdot \) الإرتفاع =
\(=x\cdot (5+x2)=\)
\(x5+{x}^{2}2=\)
إذن مساحة المستطيل هي \(x5 + x^{2}2\) وحدة مساحة. بالتالي تعتمد المساحة على قيمة المتغير x في هذه الحالة.
إذا كانت x = 10 متر سنحصل على مساحة قدرها 250 م2 لأن
\(=x5+{x}^{2}2=A\)
\(=10\cdot 5+{10}^{2}\cdot 2=\)
\(=50+100\cdot 2=\)
\(=50+200=\)
\(250=\) م2