المعادلات متعددة الحدود ذات الدرجات الأعلى

في الأقسام السابقة كررنا كيف يمكن أن يكون للمعادلات متعددة الحدود ذات الدرجة الثانية حلول غير حقيقية، والتي يمكن التعبير عنها بادخال مفهوم الأعداد المُركبة. يمكن إيجاد هذه الحلول لمعادلات الدرجة الثانية باستخدام طُرق الحل العامة من خلال إكمال المربع أو عن طريق pq-صيغة. كما رأينا أيضا في السابق طُرق حل لحالات خاصة من المعادلات متعددة الحدود ذات الدرجات الأعلى.

في هذا القسم سندرس حل المعادلات متعددة الحدود من الدرجات الأعلى من الدرجة الثانية. بما في ذلك سنتعرف على نظرية العامل وكيفية استخدام قسمة متعددات الحدود كوسيط في حل المعادلات متعددة الحدود ذات الدرجات الأعلى.

حل معادلات الدرجة الثانية

إذا كان لدينا معادلة تامة من الدرجة الثانية يمكننا إعادة كتابتها على النحو التالي

$${x}^{2}+px+q=0$$

حيث أن $p$ و $q$ عددين حقيقيين.

يمكننا حل هذه المعادلة بالطُرق المعروفة كطريقة إكمال المربع أو صيغة-pq التي ناقشناهما سابقاً في الدورة رياضيات 2. في بعض الأحيان يمكننا أيضاً حل معادلات الدرجة الثانية بيانيا ولكن هذا لا ينطبق على المعادلات التي ليس لها حلول حقيقية.

كتابة متعددات الحدود في صيغة عوامل

هنالك بعض الحالات الخاصة للمعادلات متعددة الحدود ذات الدرجة الأعلى كمعادلات الدرجة الثالثة على سبيل المثال والتي يمكن كتابتها في الصيغة التالية:

$${x}^{3}+a{x}^{2}+bx=0$$

حيث $a$ و $b$ عددين حقيقيين. هذا النوع من المعادلات يمكننا حله من خلال تحليل المعادلة الى عوامل وذلك باستخراج $x$ كعامل مُشترك في كل الحدود ومن ثم استخدام طريقة الضرب الصفري كما يلي.

$$x\cdot ({x}^{2}+ax+b)=0$$

وهذا يعني أنه إما أن

$$x=0$$

أو

$${x}^{2}+ax+b=0$$

وهذه عبارة عن معادلة من الدرجة الثانية ويمكن حلها باستخدام صيغة-pq على سبيل المثال.

أما إذا كان لدينا معادلة تامة من الدرجة الثالثة ويمكن كتابتها على النحو التالي

$${x}^{3}+a{x}^{2}+bx+c=0 $$

ففي هذه الحالة يمكن إعادة كتابة المُعادلة من خلال تحليل الطرف الأيسر الى عوامل أولية لنحصل على ما يلي:

$$(x-{a}_{1})\cdot (x-{a}_{2})\cdot (x-{a}_{3})=0$$

حيث $a_1$, $a_2$ و $a_3$ هي جذور للمعادلة. فإذا عوضنا القيّم $x=a_1$, $x=a_2$, أو $x=a_3$, فإن الطرف الأيسر من المعادلة سيكون صفرا.

ليكن لدينا على سبيل المثال معادلة الدرجة الثالثة التالية:

$${x}^{3}+{x}^{2}-10x+8=0$$

فيمكننا كتابتها في صيغة عواملها الأولية على النحو التالي

$$(x-1)\cdot (x-2)\cdot (x+4)=0$$

حيث أن حلول المعادلة هي $x_1=1$, $x_2=2$ و $x_3=-4$. فعندما نستطيع كتابة المعادلة بهذه الطريقة فهذا يقودنا الى معرفة الحلول مباشرة.

نظرية العامل

يمكننا استخدام هذه الطريقة في اعادة كتابة المعادلات كثيرة الحدود لإيجاد الحلول الغير معروفة، إذا استطعنا بطريقة ما على سبيل المثال عن طريق التجربة/الاختبار أو بيانياً إيجاد حل واحد أو عدة حلول للمعادلة.

بصورة عامة يمكن كتابة أي معادلة متعددة الحدود على النحو التالي

$$p(x)=0$$

لأي قيمة $x=a$ حيث $p\left(a\right)=0$ يمكن كتابة متعددة الحدود في صيغة العوامل بحيث يكون ($x - a$) أحد عواملها كما يلي:

$$p(x)=(x-a)\cdot q(x)$$

حيث $q\left(x\right)$ هي عبارة عن مُتعددة حدود أُخرى.

بالمقابل إذا كان هنالك متعددة حدود $p\left(x\right)$ بحيث يمكن كتابتها في الصيغة التالية:

$$p(x)=(x-a)\cdot q(x)$$

حيث $q\left(x\right)$ هي عبارة متعددة حدود، فإن $p\left(a\right)=0$

صياغة المعادلات بهذه الطريقة تُسمى بنظرية العامل ويمكن استخدامها لحل المعادلات متعددة الحدود ذات الدرجة الأعلى من الدرجة الثانية.

إذا كان لدينا، على سبيل المثال معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة كما في المثال أعلاه،

$${x}^{3}+{x}^{2}-10x+8=0$$

ولكن نعلم حل واحد فقط من حلول هذه المعادلة وليكن $x=1$, ففي هذه الحالة يمكننا إعادة كتابة متعددة الحدود باستخدام نظرية العامل كما يلي:

$${x}^{3}+{x}^{2}-10x+8=(x-1)\cdot q(x)$$

حيث أن $q\left(x\right)$ عبارة عن متعددة حدود مجهولة من الدرجة الثانية.

فإذا تعرفنا على متعددة الحدود $q\left(x\right)$ فمن ثم يمكننا إيجاد حلول متعددة الحدود ذات الدرجة الثالثة المراد حلها.

يمكن إيجاد متعددة الحدود $q\left(x\right)$ بطُرق مختلفة، كقسمة متعددات الحدود على سبيل المثال.

قسمة متعددات الحدود

من نظرية العامل نعلم أنه إذا كان $x=a$ هو أحد حلول المعادلة

$$p(x)=0$$

فهذا يعني أن ($x-a$) هو عامل من عوامل $p\left(x\right)$ ويمكن كتابة $p\left(x\right)$ على النحو التالي

$$p(x)=(x-a)\cdot q(x)$$

حيث $q\left(x\right)$ هي عبارة عن مُتعددة حدود أُخرى.

يمكننا إعادة كتابة هذه العلاقة على النحو التالي

$$q(x)=\frac{p(x)}{x-a}$$

ما يعني أنه يمكن الحصول على مُتعددة الحدود $q\left(x\right)$ بإجراء عملية القسمة في الطرف الأيمن. وهذا هو ما يُسمى بقسمة متعددات الحدود.

عند إجراء قسمة متعددة الحدود $p\left(x\right)$ علـــى ($x - a$) علينا إتباع نفس قواعد قسمة الأعداد الحقيقية.

فإذا كان على سبيل المثال لدينا متعددة الحدود ذات الدرجة الثالثة كما في المثال السابق

$$p(x)={x}^{3}+{x}^{2}-10x+8$$

والعامل المعلوم ($x - 1$), فمن ثم يمكننا الحصول على $q\left(x\right)$ من خارج القسمة أدناه

$$q(x)=\frac{p(x)}{x-a}=\frac{{x}^{3}+{x}^{2}-10x+8}{x-1}$$

يمكن حساب حاصل هذه القسمة بأي طريقة من طُرق القسمة كالقسمة المطولة على سبيل المثال:

نلاحظ أن متعددة الحدو قابلة للقسمة علـــــى العامل ($x - 1$) لأن باقي القسمة صفرا. وهذا ما سيحدث في كل حالات قسمة متعددة حدود $p\left(x\right)$ على عامل معلوم ($x - a$). ومع ذلك بصورة عامة قد يكون هنالك باقي لقسمة متعددات الحدود.

بإجراء قسمة متعددة الحدود أعلاه تحصلنا على متعددة الحدود

$$q(x)={x}^{2}+2x-8 $$

الآن نعلم أن:

$$p(x)={x}^{3}+{x}^{2}-10x+8=$$

$$=(x-1)\cdot ({x}^{2}+2x-8)=0$$

ويمكننا حل معادلة الدرجة الثانية

$$q(x)=0$$

باستخدام صيغة-pq على سبيل المثال لكي نحصل على جذور المعادلة التالية

$$x=2\,و\,x=-4$$

بالتالي فإن جذور المعادلة

$$p(x)={x}^{3}+{x}^{2}-10x+8$$

هي

$${x}_{1}=1$$

$${x}_{2}=2$$

$${x}_{3}=-4$$

---

فيديو الدرس (بالسويدية)

قسمة متعددة حدود من معادلات الدرجة الثالثة.