مُشتقة الدوال المركبة
في الدورة رياضيات 3 تعلمنا الكثير عن المشتقات كما تعلمنا كيف يمكننا صياغة عدد من قواعد الاشتقاق المفيدة بالاستفادة من تعريف المشتقة باستخدام المسافة-h.
في هذا القسم والأقسام التالية سنتعلم المزيد عن قواعد الاشتقاق لعدد من الدوال الأكثر شيوعا. في هذا القسم سندرس مشتقة الدوال المركبة. في القسم التالي سنتعرف على مشتقات بعض الدوال المهمة, كما سنتعلم في القسمين التاليين حساب مشتقة ضرب دالتين ومشتقة قسمة دالتين. في القسم الأخير سنتعرف على المعادلات التفاضلية وهي من أهم المجالات التي ستتكرر في دورات الرياضيات المتقدمة.
الدوال المركبة
إذا كان لدينا على سبيل المثال الدالة التالية
$$y(x)=\left ( 4x-3 \right )^{2}$$
فيمكننا حساب مشتقتها إذا استخدمنا أولاً قاعدة التربيع الثانية لإعادة كتابة الدالة كما يلي
$$y(x)=\left ( 4x-3 \right )^{2}={16x}^{2}-24x+9$$
وبكتابتها في هذا الشكل يمكننا اشتقاق هذه الدالة وفقا لقواعد اشتقاق الدوال المتعددة الحدود:
$$y\,'(x)=32x-24$$
في هذه الحالة كان من السهل إعادة كتابة تعبير الدالة ومن ثم اشتقاقها ولكن إذا كانت الدالة أكثر تعقيدا فقد يكون من المناسب اشتقاق الدالة بشكل مباشر بدلا إعادة كتابتها.
فإذا نظرنا إلى الدالة الأصلية
$$y(x)=\left ( 4x-3 \right )^{2}$$
فيمكننا أن نتعامل معها كدالة مركبة تتألف من دالتين بسيطتين.
$$y(x)=f(u)={u}^{2}$$
و
$$u=g(x)=4x-3$$
إذا كتبنا هاتين الدالتين معاً سنحصل على
$$y(x)=f(u)=f(g(x))=$$
$$=f(4x-3)=\left ( 4x-3 \right )^{2}$$
وهو بالطبع تعبير الدالة الأصلية.
عندما يكون لدينا دالة مركبة من النوع \(f(g(x))\) نُسمي الدالة \(f\) بالدالة الخارجية والدالة \(g\) بالدالة الداخلية. سنستخدم هذه المفاهيم عند حساب مشتقة الدالة المركبة.
قاعدة السلسلة
كما نلاحظ أن من السهل اشتقاق الدالة الداخلية والدالة الخارجية في المثال أعلاه وذلك باستخدام قواعد الاشتقاق المعروفة.
الدالة الخارجية
$$f(u)={u}^{2}$$
يمكن اشتقاقها/تفاضلها بالنسبة لـــ \(u\) ومن ثم تعويض قيمة \(u\)
$$f\,'(u)=2u=2\cdot (4x-3)=8x-6$$
الدالة الداخلية
$$g(x)=4x-3$$
يمكن اشتقاقها/تفاضلها بالنسبة لـــ \(x\)
$$g\,'(x)=4$$
تُسمى قاعدة اشتقاق الدوال المركبة بقاعدة السلسة ويمكن تطبيقها على الدالة المركبة التاليه
$$y(x)=f(g(x))$$
كما يلي:
$$y\,'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
أي أن مشتقة الدالة المركبة تساوي حاصل ضرب مشتقة الدالة الخارجية فـــــــــي مشتقة الدالة الداخلية.
بالتالي يمكن اشتقاق الدالة المركبة في المثال أعلاه باستخدام قاعدة السلسلة كما يلي:
$$y\,'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=$$
$$=2\cdot (4x-3)\cdot 4=$$
$$=(8x-6)\cdot 4=$$
$$=32x-24$$
إذا كان لدينا أي دالة مركبة في الصورة التالية:
$$y(x)=f(g(x))$$
ونريد إيجاد مشتقة هذه الدالة فعلينا إتباع الخطوات التالية:
1. تحديد الدالتين الخارجية \(f(u)\) والداخلية \(u=g(x)\)
2. اشتق/فاضل الدالتين الخارجية والداخلية بحيث يكون لدينا \(f'(u)\) و \(g'(x)\).
3. احسب حاصل ضرب مشتقة الدالة الخارجية فــــــــي مشتقة الدالة الداخلية وفقا لقاعدة السلسلة.
مثال على هذه الطريقة لتحديد مشتقة دالة مركبة
اشتق الدالة التالية:
$$y(x)=5\left ( 2x+4 \right )^{3}-6$$
أولاً علينا تحديد كل من الدالة الخارجية والدالة الداخلية.
يمكننا كتابة الدالة بدلالة \(u\) على النحو التالي:
$$y(x)=f(u)=5{u}^{3}-6$$
حيث أن \(f(u)\) هي الدالة الخارجية والدالة التالية
$$u=g(x)=2x+4$$
هي الدالة الداخلية.
الخطوة التالية سنقوم باشتقاق الدالتين الخارجية والداخلية كل على حدة.
مشتقة الدالة الخارجية هي
$$f'(u)=15{u}^{2}=15{(2x+4)}^{2}$$
ومشتقة الدالة الداخلية هي
$$g'(x)=2$$
في النهاية نستخدم قاعدة السلسة لحساب مشتقة الدالة المركبة وتبسيطها الى أبسط صورة ممكنه (في هذه الحالة باستخدام قاعدة التربيع الأولى):
$$y\,'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)=$$
$$=15\cdot {(2x+4)}^{2}\cdot 2=$$
$$=15\cdot (4{x}^{2}+16x+16)\cdot 2=$$
$$=120{x}^{2}+480x+480 $$
فيديو الدرس (بالسويدية)
مثال على الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة.