المعادلات التفاضلية

في الدورة رياضيات 3 وسابقاً في هذا الباب قمنا بحساب مشتقات عدد من الدوال المُختلفة والمُشتقة يمكن تفسيرها بمعدل تغير الدوال. باشتقاق أي دالة سنحصل على تعبير دالة جديد يُمثل مشتقة الدالة.

في هذا القسم سنتعرف على مفهوم المعادلة التفاضلية كما سندرس كيف يمكننا استخدام هذا النوع من المعادلات. تستخدم المعادلات التفاضلية على نطاق واسع في صِياغة النماذج الرياضية في مجال الفيزياء، مما يجعل المعادلات التفاضلية مثيرة للاهتمام للعديد من التطبيقات المختلفة.

صياغة المعادلة التفاضلية البسيطة

المعادلة التفاضلية هي معادلة تُوضح العلاقة بين دالة مجهولة ومشتقتها أو بين الدالة وعدد من مشتقاتها.

مثال بسيط للعلاقة التي يمكن وصفها باستخدام الدالة التفاضلية هو مُعدّل تغير عدد البكتيريا في احدى مزارع البكتيرية. بما أن البكتيريا تتكاثر من خلال انقسام الخلايا يمُعدّل مُعيّن، يمكن اعتبار أن مُعدّل التغير عند الزمن t يتناسب مع عدد البكتيريا عند الزمن t.

وهذا ما يقودنا الى صياغة المعادلة التفاضلية التالية لوصف الحالة:

$$y\,'(t)=k\cdot y(t)$$

حيث أن \(y '(t)\) هي مُعدّل التغير في عدد البكتيريا عند الزمن \(t\) و \(y(t)\) هي عدد البكتيريا عند الزمن \(t\), و \(k\) هو ثابت التناسب.

التحقق من حل المعادلة التفاضلية

حل المعادلة التفاضلية هو عبارة عن دالة تُحقق المعادلة التفاضلية نفسها، أي أن يكون الطرف الأيسر للمعادلة التفاضلية مساويا للطرف الأيمن. بالتالي فإن الحل ليس عبارة عن عددا بسيطاً كما في أنواع المعادلات التي قابلناها سابقاً وانما سيكون الحل عبارة عن دالة.

في مثال زراعة البكتيريا أعلاه فان حل المعادلة يعني أنه تم الحصول على تعبير الدالة \(y(t)\) الذي سيجعل طرفي المعادلة متساويين (الطرف الأيسر = الطرف الأيمن.

بما أن المُشتقة في هذا المثال تتناسب مع الدالة نفسها فهذا يعني أن نوع الدالة التي نبحث عنها سيكون لها نفس الخاصيّة/الميّزة. الدوال الأُسية لها هذه الخاصية كما رأينا سابقاً في الدورة رياضيات 1. وبالتالي يمكننا كتابة حل هذه المعادلة التفاضلية كما يلي

$$y(t)=C\cdot {e}^{kt}$$

حيث \(C\) ثابت وهو عبارة عن عدد البكتيريا في البداية, عند الزمن \(t=0\) و \(k\) هو ثابت التناسب.

يمكننا إثبات أن هذه الدالة هي الحل للمعادله التفاضليه من خلال إشتقاقها باستخدام قواعد إشتقاق الدوال الأُسية المعروفة، ومنها سنحصل على المشتقة التالية:

$$y\,'(t)=k\cdot C\cdot {e}^{kt}$$

بتعويض تعبيريّ كل من الدالة ومشتقتها في المعادلة التفاضلية سنحصل على

$$y\,'(t)=k\cdot y(t)$$

$$k\cdot C\cdot {e}^{kt}=k\cdot (C\cdot {e}^{kt})$$

بما أن طرف المعادلة الأيسر يساوي الطرف الأيمن فهذا يعني أننا أوجدنا حل للمعادلة التفاضلية.


من المثال السابق نريد حساب معدل تغير عدد البكتيريا في الساعة عند زمن معين، لتكن t=10 ساعات بعد بداية التجربة.

إذا علمنا أن عدد البكتيريا في بداية التجربة (t = 0 ساعة) كان \(1\,000\) وكان معدل النمو 10% في الساعة، فبالتالي يمكننا صياغة المعادلة التفاضلية التالية:

$$y\,'(t)=0,10\cdot y(t)$$

من ما تعلمنا سابقاً نعلم أيضاً أن صيغة حل هذا النوع من المعادلات التفاضلية هي كما يلي

$$y(t)=C\cdot {e}^{kt}$$

كما نعلم أيضاً أن k=0.10 (ثابت التناسب)، وأن C=1 000 (عدد البكتيريا في بداية التجربة، بالتالي يجب أن تكون الدالة كما يلي

$$y(t)=1000\cdot {e}^{0,10t}$$

وهذا يعطينا أن معدل التغير

$$y\,'(t)=0,10\cdot y(t)=$$

$$=0,10\cdot (1000\cdot {e}^{0,10t})=$$

$$=100\cdot e^{0,10t}$$

ومن ثم يمكننا الحصول على معدل التغير في الزمن t=10 ساعات

$$y\,'(10)=100\cdot e^{0,10\cdot 10}=$$

$$=100\cdot {e}^1=100e\approx270$$

إذن بعد مرور الزمن t=10 ساعات سيكون معدل تغير عدد البكتيريا في المزرعة عبارة عن زيادة بمقدار 270 بكتيريا تقريبا في الساعة.


رتبة المعادلات التفاضلية

في المثال أعلاه قمنا بصياغة معادلة تفاضلية تُعبر عن مُعدّل تغيّر عدد البكتيريا في مزرعة بكتيريا وكانت المشتقة الأولى \((y'(t))\) هي أعلى مشتقة في المعادلة التفاضلية. ولذلك فإن رتبة هذه المعادلة التفاضلية هي الرتبة الأولى.

أما إذا كان هنالك معادلة تفاضلية تحتوي على المُشتقة الثانية للدالة فهذا يعني أن المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية. فيما يلي لدينا مثال على معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية.

$$y\,''(x)-4y\,'(x)+4y(x)=0$$

بنفس الطريقة كما في حالة المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الأولى يمكننا أن نتحقق من حل المعادلات التفاضلية ذات الرتبة الثانية وذلك من خلال حساب كل من المشتقة الأولى والثانية للدالة ومن ثم تعويضهما في المعادلة التفاضلية للتحقق من أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.


مثال

لدينا معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية كما يلي:

$$y\,''(x)-4y\,'(x)+4y(x)=0$$

أثبت أن الدالة التالية هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه:

$$y(x)=10\cdot {e}^{2x}$$

لنتحقق من أن الدالة المُعطية هي الحل سنحتاج أولاً إلى حساب مشتقتيها الأولى والثانية وذلك باستخدام قواعد اشتقاق الدوال الأسية المعروفة.

$$y\,'(x)=2\cdot 10\cdot {e}^{2x}=20\cdot {e}^{2x}$$

$$y\,''(x)=2\cdot 20\cdot {e}^{2x}=40\cdot {e}^{2x}$$

لنعوض قيّم المشتقين الأولى والثانية في الطرف الأيسر للمعادلة التفاضلية:

$$40\cdot {e}^{2x}-4\cdot (20\cdot {e}^{2x})+4\cdot (10\cdot {e}^{2x})=$$

$$=40\cdot {e}^{2x}-80\cdot {e}^{2x}+40\cdot {e}^{2x}=0$$

بما أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن (VL = HL) للمعادلة التفاضلية إذن الدالة المُعطية هي حل للمعادلة التفاضلية.


أوجد قيمة k بحيث تكون الدالة \(y={e}^{kt}\) هي حل للمعادلة التفاضلية \(y\,''+2y\,'-3y=0\)

لإيجاد القيّم المحتملة للثابت k سنبدأ بإيجاد المشتقتين الأولى والثانية الدالة المُعطية ومن ثم يمكننا تعويض المشتاقين الأولى والثانية في المعادلة التفاضلية لإيجاد قيّم الثابت k.

المشتقتين الأولى والثانية:

$$y\,'(t)=k\cdot {e}^{kt}$$

$$y\,''(t)=k\cdot k\cdot {e}^{kt}={k}^{2}\cdot {e}^{kt}$$

بتعويض تعبيري المشتقتين الأولى والثانية في المعادلة التفاضلية سنحصل على

$${k}^{2}\cdot {e}^{kt}+2\cdot (k\cdot {e}^{kt})-3\cdot ({e}^{kt})=$$

$$={k}^{2}\cdot {e}^{kt}+2k\cdot {e}^{kt}-3\cdot {e}^{kt}=$$

$$=({k}^{2}+2k-3)\cdot {e}^{kt}=0$$

الآن يمكننا استخدام طريقة ناتج الضرب الصفري لإيجاد قيم الثابت k.

لكي يكون الطرف الأيسر من المعادلة التفاضلية مساويا للطرف الأيمن، أي يساوي صفر فهذا يعني أنه: إما

$${k}^{2}+2k-3=0$$

أو

$${e}^{kt}=0$$

لا توجد قوة أساسها العدد e لها القيمة 0, بالتالي سنقوم بحل معادلة الدرجة الثانية التي صغناها بدلالة الثابت k وذلك باستخدام صيغة-pq وهذا ما يعطينا

$$k_1=-3 $$

$$k_2=1$$

إذن حلول هذه المعادلة التفاضلية هي على النحو التالي.

$$y(t)={e}^{-3t}$$

$$y(t)={e}^{t}$$


فيديو الدرس (بالسويدية)

كيف يمكن التأكد من أن دالة ما تُحقق معادلة من المعادلات التفاضلية.

هل إكتشفت خطأ أو لديك تعليقات على المادة الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se
قراءة الصفحة بلغات أخرى