حساب الأعداد المركبة
في القسم السابق عرّفنا الأعداد المركبة ورأينا كيف يمكن كتابتها في صبغة المستطيل.
وفي هذا القسم سنمر على كيفية إجراء العمليات الحسابية الأربعة مع الأعداد المركبة عندما تكون مكتوبة في صيغة المستطيل.
في أغلب الأحيان تتم العمليات الحسابية مع الأعداد المُركبة بنفس الطريقة كما في حالة الأعداد الحقيقية. فيما يلي سنناقش كيفية تطبيق العمليات الحسابية الأربعة على العددين المُركبين و :
$${z}_{1}=3+2i$$
و
$${z}_{2}=4+i$$
جمع الأعداد المركبة
عندما نجمع العددين المُركبين و فيجب جمع الأجزاء الحقيقية مع بعضها البعض والأجزاء التخيلية مع بعضها البعض بصورة منفصلة وهذا ما يعطينا ما يلي:
$${z}_{1}+{z}_{2}=(3+2i)+(4+i)=$$
$$=3+2i+4+i=$$
$$=7+3i$$
بصورة عامة إذا جمعنا أي عددين مركبين و سنحصل على ما يلي:
$${z}_{1}+{z}_{2}=(a+bi)+(c+di)=$$
$$=a+bi+c+di=$$
$$=(a+c)+(b+d)i$$
طرح الأعداد المركبة
عندما نطرح العددين من , فيجب طرح الأجزاء الحقيقية من بعضها البعض والأجزاء التخيلية من بعضها البعض بصورة منفصلة وهذا ما يعطينا
$${z}_{1}-{z}_{2}=(3+2i)-(4+i)=$$
$$=3+2i-4-i=$$
$$=-1+i$$
بصورة عامة إذا طرحنا أي عددين مركبين من سنحصل على ما يلي:
$${z}_{1}-{z}_{2}=(a+bi)-(c+di)=$$
$$=a+bi-c-di=$$
$$=(a-c)+(b-d)i$$
ضرب الأعداد المركبة
في حالة ضرب العددين الحقيقيين فـي فستتم العملية الحسابية بنفس الطريقة كما في حالة ضرب ذوات الحدين بالإضافة لاستخدام تعريف الوحدة التخيلية لكتابة ناتج الضرب في أبسط صورة ممكنة.
إذا ضربنا فـي سنحصل على ما يلي:
$$ {z}_{1}\cdot {z}_{2}=(3+2i)\cdot (4+i)=$$
$$=3\cdot 4+3\cdot i+2i\cdot 4+2i\cdot i=$$
$$=12+3i+8i+2{i}^{2}=$$
$$=12+11i+2\cdot (-1)=$$
$$=10+11i$$
بصورة عامة إذا ضربنا أي عددين مركبين فـي سنحصل على:
$${z}_{1}\cdot {z}_{2}=(a+bi)\cdot (c+di)=$$
$$=a\cdot c+a\cdot di+bi\cdot c+bi\cdot di=$$
$$=ac+(ad+bc)\cdot i+bd\cdot {i}^{2}=$$
$$=(ac-bd)+(ad+bc)i$$
قسمة الأعداد المركبة
أما في حالة قسمة أي عددين حقيقيين و فعلينا أولاً إعادة كتابة التعبير بحيث يكون العدد المقسوم علية عبارة عن عدد حقيقي. لكي يكون المقام عدد حقيقي سنقوم بضرب البسط والمقام في مترافق المقام.
مترافق العدد المركب () هو (\(\overline{z}=a-bi\))
إذا ضربنا العدد في مترافقه فسنحصل على
$$z\cdot \overline{z}=(a+bi)\cdot (a-bi)=$$
$$=a\cdot a+a\cdot (-bi)+bi\cdot a+bi\cdot (-bi)=$$
$$={a}^{2}-{b}^2\cdot {i}^{2}=$$
$$={a}^{2}-{b}^2\cdot (-1)=$$
$$={a}^{2}+{b}^2$$
بما أن و عددين حقيقيين فهذا يعني أن \(z\cdot \overline{z}\) سيكون عدد حقيقي.
وبما أننا نريد حاصل قسمة علـى فعلينا استطالة حاصل القسمة
$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$$
وذلك من خلال ضرب البسط والمقام فـــــي مترافق المقام لكي نحصل على
$$\frac{{z}_{1}\cdot \overline{{z}_{2}}}{{z}_{2}\cdot \overline{{z}_{2}}}$$
بتطبيق ذلك على الأعداد المركبة المعطية و سنحصل على ما يلي:
$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{{z}_{1}\cdot \overline{{z}_{2}}}{{z}_{2}\cdot \overline{{z}_{2}}}=\frac{(3+2i)\cdot (4-i)}{(4+i)\cdot (4-i)}=$$
$$=\frac{12-3i+8i-2{i}^{2}}{{4}^{2}+{1}^{2}}=\frac{12+5i+2}{16+1}=$$
$$=\frac{14+5i}{17}=\frac{14}{17}+\frac{5}{17}i$$
بصورة عامة إذا قسمنا أي عددين مركبين علـى سنحصل على:
$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{{z}_{1}\cdot \overline{{z}_{2}}}{{z}_{2}\cdot \overline{{z}_{2}}}=\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}=$$
$$=\frac{a\cdot c+a\cdot (-di)+bi\cdot c+bi\cdot (-di)}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{ac+(bc-ad)\cdot i+bd}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{{c}^{2}+{d}^{2}}=$$
$$=\frac{(ac+bd)}{{c}^{2}+{d}^{2}}+\frac{(bc-ad)}{{c}^{2}+{d}^{2}}i$$
$$=\frac{(ac+bd)}{{c}^{2}+{d}^{2}}+\frac{(bc-ad)}{{c}^{2}+{d}^{2}}i$$
فيديوهات الدرس (بالسويدية)
جمع وطرح الأعداد المُركبة.
ضرب وقسمة الأعداد المُركبة.