مشتقة قسمة دالتين
في القسم السابق درسنا كيف يمكننا حساب مشتقة حاصل ضرب أي دالتين باستخدام قاعدة اشتقاق ضرب الدالتين. في هذا القسم سنتناول قاعدة أُخرى مشابهة لنفس الموقف وهو قسمة الدالتين وكيفية اشتقاقها، حيث يمكننا استخدام قاعدة اشتقاق قسمة الدالتين.
حاصل قسمة الدوال
بنفس الطريقة كما يمكن كتابة بعض الدوال كحاصل ضرب دالتين أُخرتين هنالك دوال يمكن كتابتها في صيغة قسمة دالتين أُخرتين. هذا النوع من الدوال يمكن كتابته كما يلي
$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$
على سبيل المثال يمكن أن يكون لدينا الدالة \(f(x)\) كما يلي
$$f(x)=\frac{2{x}^{2}+3x-4}{3x+5}$$
حيث أن
$$g(x)=2{x}^{2}+3x-4$$
و
$$h(x)=3x+5$$
يمكن أيضا كتابة قسمة دالتين في صيغة ضرب دالتين:
$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=g(x)\cdot \frac{1}{h(x)}=g(x)\cdot j(x)$$
حيث أن
$$j(x)=\frac{1}{h(x)}$$
وفي هذه الحالة يمكننا حساب المشتقة بتطبيق قاعدة مشتقة ضرب الدالتين. ومع ذلك فإن الهدف هو إيجاد قاعدة اشتقاق يمكن استخدامها لاشتقاق قسمة دالتين مباشرةً دون الحوجة إلى إعادة كتابة الدالة لاستخدام قاعدة الضرب الدلتين.
قاعدة قسمة الدالتين
هنالك بعض الصيّغ لقسمة الدالتين يمكننا إعادة كتابته في صيغة أُخرى يمكن اشتقاقها باستخدام قواعد الاشتقاق المعروفة. في المقابل هنالك صيّغ أُخرى لقسمة دالين لا تناسبها قواعد الاشتقاق المعروفة، على سبيل المثال
$$f(x)=\frac{3cos\,x}{2x+1}$$
هناك قاعدة تُسمى بقاعدة قسمة الدالين يمكن استخدامها لاشتقاق قسمة الدالين بسهولة. تنص قاعدة القسمة على أن الدالة
$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$$
لها مشتقة
$$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{{(h(x))}^{2}}$$
حيث أن \(h(x) \neq 0\).
لنشق الدالة المذكورة في بداية هذا القسم باستخدام قاعدة القسمة
$$f(x)=\frac{2{x}^{2}+3x-4}{3x+5}$$
لنفترض أن
$$g(x)=2{x}^{2}+3x-4$$
و
$$h(x)=3x+5$$
بعد تحديد الدالتين \(g(x)\) و \(h(x)\) يمكننا استخدام قاعدة القسمة.
حيث أن مشتقة كل منهما هي كما يلي:
$$g'(x)=4x+3$$
و
$$h'(x)=3$$
الآن يمكننا استخدام قاعدة القسمة لحساب مشتقة الدالة الأصلية:
$$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{{(h(x))}^{2}}=$$
$$=\frac{(4x+3)\cdot (3x+5)-(2{x}^{2}+3x-4)\cdot (3)}{{(3x+5)}^{2}}=$$
$$=\frac{(12{x}^{2}+20x+9x+15)-(6{x}^2+9x-12)}{9{x}^{2}+30x+25}=$$
$$=\frac{6{x}^{2}+20x+27}{9{x}^{2}+30x+25}$$
لنشق أيضا الدالة الأكثر تعقيداً المذكورة أعلاه في هذا القسم باستخدام قاعدة القسمة.
$$f(x)=\frac{3cos\,x}{2x+1}$$
لنفترض أن
$$g(x)=3cos\,x$$
و
$$h(x)=2x+1$$
بعد تحديد كل من \(g(x)\) و \(h(x)\) يمكننا استخدام قاعدة القسمة.
باستخدام قواعد الاشتقاق التي توصلنا إليها سابقا في دورة رياضيات 4 يمكننا اشتقاق كل من \(g(x)\) و \(h(x)\) كما يلي:
$$g'(x)=-3sin\,x$$
و
$$h'(x)=2$$
الآن يمكننا تطبيق قاعدة القسمة لحساب مشتقة الدالة الأصلية:
$$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{{(h(x))}^{2}}=$$
$$=\frac{(-3sin\,x)\cdot (2x+1)-(3cos\,x)\cdot (2)}{{(2x+1)}^{2}}=$$
$$=-\frac{3sin\,x}{2x+1}-\frac{6cos\,x}{{(2x+1)}^{2}}$$
قد يبدو هذا التعبير معقدا ولكن في الحقيقة يمكننا بكل سهولة حساب المشتقة لأي قيّم عشوائية للمُتغير \(x\). عندما تكون \(x=0\) على سبيل المثال سنحصل على:
$$f'(0)=-\frac{3sin\,0}{2\cdot 0+1}-\frac{6cos\,0}{{(2\cdot 0+1)}^{2}}=-\frac{0}{1}-\frac{6}{1}=-6 $$
فيديو الدرس (بالسويدية)
مثال على التفاضل بإستخدام قاعدة اشتقاق قسمة الدالتين.