مشتقة ضرب دالتين
حتى الآن درسنا في هذا الباب مشتقة الدوال المركبة بالإضافة الى مشتقة بعض من الدوال المهمة. وفي هذا القسم سندرس مشتقة حاصل ضرب الدوال ومن ثم اشتقاق حاصل ضرب الدالتين.
حاصل ضرب الدوال
هناك سياقات عديدة تحتوي على دوال يمكن رؤيتها على أنها عباره عن حاصل ضرب دالتين أخرتين. وهذا النوع من الدوال يمكن كتابته على النحو التالي
$$f(x)=g(x)\cdot h(x)$$
على سبيل المثال يمكن أن تكون الدالة \(f(x)\)
$$f(x)=(2{x}^{2}+3x-4)\cdot (3x+5)$$
حيث أن
$$g(x)=2{x}^{2}+3x-4$$
و
$$h(x)=3x+5$$
مشتقة ضرب الدالتين
إذا أردنا اشتقاق الدالة \(f(x)\) في المثال أعلاه فيمكننا حساب حاصل الضرب ومن ثم اشتقاق دالة الدرجة الثالثة الناتجة باستخدام قواعد اشتقاق الدوال المتعددة الحدود المعروفة.
أمّا إذا كان لدينا دالة أكثر تعقيدا، على سبيل المثال
$$f(x)=3cos\,x\cdot (2x+1)$$
فليس من الواضح كيفية اشتقاق حاصل ضرب هتين الدالتين باستخدام قواعد الاشتقاق السابقة. في الحقيقة يمكننا ضرب عامل جيب التمام فــــــــــي ما بداخل الأقواس ولكن سيتكوّن لدينا حد آخر عبارة عن حاصل ضرب دالتين.
ولكن هناك قاعدة اشتقاق تسمى قاعدة حاصل الضرب والتي بدورها ستسهل اشتقاق حاصل ضرب الدوال. وتقول قاعدة حاصل الضرب بأن أي دالة يمكن كتابتها في الصيغة التالية
$$f(x)=g(x)\cdot h(x)$$
ستكون مشتقتها
$$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$$
أي أن مُشتقة ضرب الدالتين هي:
مُشتقة الدالة الأولىXالدالة الثانية + الدالة الأولىXمشتقة الدالة الثانية.
لنشق الدالة التي قابلناها في بداية هذا القسم باستخدام قاعدة حاصل الضرب
$$f(x)=(2{x}^{2}+3x-4)\cdot (3x+5)$$
لتكن
$$g(x)=2{x}^{2}+3x-4$$
و
$$h(x)=3x+5$$
بالتالي يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب بعد اشتقاق الدالتين \(g(x)\) و \(h(x)\) كما يلي:
$$g'(x)=4x+3$$
و
$$h'(x)=3$$
الآن لدينا كل ما نحتاجه لتطبيق قاعدة حاصل الضرب لحساب مشتقة الدالة الأصلية:
$$f'(x)={\color{Red}{ g'(x)}}\cdot {\color{Blue} {h(x)}}+{\color{Green} {g(x)}}\cdot {\color{Magenta} {h'(x)}}=$$
$$=({\color{Red} {4x+3}})\cdot ({\color{Blue}{3x+5}})+({\color{Green}{ 2{x}^{2}+3x-4}})\cdot ({\color{Magenta} {3}})=$$
$$=(12{x}^{2}+20x+9x+15)+(6{x}^{2}+9x-12)=$$
$$=18{x}^{2}+38x+3$$
لنشتق أيضاً الدالة الأكثر تعقيدًا التي ذكرناها سابقاً في هذا القسم باستخدام قاعدة الضرب.
$$f(x)=3cos\,x\cdot (2x+1)$$
لتكن
$$g(x)=3cos\,x$$
و
$$h(x)=2x+1$$
بالتالي يمكننا استخدام قاعدة حاصل الضرب إذا قمنا باشتقاق الدالتين \(g(x)\) و \(h(x)\).
حيث يمكننا استخدام قواعد الاشتقاق التي توصلنا إليها سابقا في الدورة رياضيات 4 لنحصل على المشتقتين:
$$g'(x)=-3sin\,x$$
و
$$h'(x)=2$$
الآن لدينا كل ما نحتاجه لتطبيق قاعدة حاصل الضرب لحساب مشتقة الدالة الأصلية:
$$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)=$$
$$=(-3sin\,x)\cdot (2x+1)+(3cos\,x)\cdot (2)=$$
$$=-6x\cdot sin\,x-3sin\,x+6cos\,x$$
الآن لدينا مشتقة الدالة ويمكننا بسهولة حساب المشتقة عند أي قيمة عشوائية للمتغير \(x\). على سبيل المثال عندما تكون \(x=0\) سنحصل على:
$$f'(0)=-6\cdot 0\cdot sin\,0-3\cdot sin\,0+6\cdot cos\,0=$$
$$=0-0+6=6$$
فيديو الدرس (بالسويدية)
مثال على مُشتقة ضرب الدالتينن.