دائرة الوحدة والدورات

في القسم السابق كررنا العلاقات المُثلثيه الأساسية ورأينا أن بعض الزوايا لها قيّم مُثلثيه دقيقه ومضبوطة. درسنا أيضاً ما يُسمى بدائرة الوحدة في دورة رياضيات 3. يمكن استخدام دائرة الوحدة لتحليل العلاقات بين الزوايا وقيّمها المُثلثيه.

أي أن هذا القسم سيكون عبارة عن تكرار لدائرة الوحدة بالإضافه الى التعرف على مفهوم الدورات الذي سيكون استخدامه بصوره متكرره عندما نتعامل مع القيّم المُثلثية.

دائرة الوحدة

عندما درسنا العلاقات المثلثية الأساسية سابقاً بدأنا بإستخدام المُثلث القائم الزاوية, حيث يقع حجم الزاويتين الحادتين في النطاق $0^{°}\le v\le {90}^{°}$. باستخدام دائرة الوحدة يمكننا توسيع مفهوم تعريف العلاقات المُثلثية وتطبيقها على الزوايا الأخرى, مثل الزوايا الأكبر من °90 والزوايا الأقل من °0 (الزوايا السالبة).

تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة الأصل (0 ,0) وتقع كل نقطة على محيط الدائرة على بعد مسافة 1 وحدة طولية من مركز الدائرة (أي أن نصف قطر دائرة الوحده يساوي 1 وحدة طوليه).

بصوره عامه يمكن كتابة أي نقطة على محيط الدائرة في الصورة$P=(x, y)$, حيث تعتمد إحداثيات النقطة $x$ و $y$ على مقدار/حجم الزاوية $v$. إحداثي $x$ للنقطة المحيطية $P$ يساوي جيب تمام الزاوية $\cos v$, أي أن $(x = \cos v)$, وإحداثي $y$ للنقطة $P$ يساوي جيب الزاوية $\sin v$, أي أن $(y =\sin v)$. بالتالي يمكن كتابة أي نقطة عشوائية على مُحيط الدائرة بدلالة كل من جيب وحيب تمام الزاوية $P=( \cos v, \sin v)$.

الدورات

بما أن مقدار الزاوية $v$ في دائرة الوحدة عشوائي فعليه يمكن افتراض قيمة لهذه الزاوية أكبر من ${90}^{°}$ أو أقل من $0^{°}$. كما ذكرنا اعلاه، يمكن كتابة أي نقطة على محيط الدائرة بدلالة الجيب وجيب التمام بدلا من $x$ و$y$ $P_1=( \cos v, \sin v)$. إذا افترضنا أن حجم الزاوية $v$ زاد بمقدار ${360}^{°}$ (دورة كاملة) ففي هذه الحال ستكون النقطة $P_2= \left(\cos \right(v + 360°), (\sin (v + 360°))$ متزامن (أو منطبقه) مع النقطة $P_1$ بمعنى أن$P_1=P_2$.

بنفس الطريق يمكننا استنتاج الصورة العامة للزوايا العشوائية،

$$v+n\cdot {360}^{\circ}$$

حيث أن n عدد صحيح، والتي يمكن استخدامها للعودة إلى نفس النقطة على محيط دائرة الوحدة.

وهذا يعني أن القيّم المثلثية لجيب تمام الزاوية $\cos v$ وجيب الزاوية $\sin v$ لها دورة كامله ${360}^{°}$, وهذا يعني أن هذ القيّم المثلثية يمكن الحصول عليها دوريا أي لكل زاوية عشوائية $v$ زائد أو ناقص عدد عشوائي من الدورات n على دائرة الوحدة. بالتالي سيكون لدينا العلاقات المثلثية التالية في دائرة الوحدة:

$$sin\,v=sin\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

$$cos\,v=cos\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

حيث أن n عدد صحيح.

يختلف مقدار دورة ظل الزاوية $\tan v$ عن دورة الجيب وجيب التمام, حيث أن الظل له نصف دورة (${180}^{°}$) في دائرة الوحدة. وهذا يرجع الى تعريف المماس، فمن النقطة $P=(x, y)=(\cos v, \sin v)$ على محيط دائرة الوحدة لدينا أن

$$tan\,v=\frac{y}{x}=\frac{sin\,v}{cos\,v}$$

إذا درسنا دورة هذه القيمة المثلثية فسنحصل على العلاقة التالية:

$$tan\,v=tan\,(v+n\cdot {180}^{\circ})$$

حيث أن $v\ne {90}^{°}$ و $n$ عدد صحيح.

---

دعونا ننظر إلى بعض الأمثلة التي نستخدم فيها دورات القيّم المثلثية لحل المعادلات المثلثية.

حِل المعادلة

$$y=sin\,{420}^{\circ}$$

بما أن جيب الزاوية $v$ له دورة ${360}^{°}$, فبالتالي يمكن كتابة جيب الزاوية ${420}^{°}$ على النحو التالي

$$sin\,{420}^{\circ}=sin\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

حيث أن الزاوية ${420}^{°}$ أكبر من ${360}^{°}$, فإذا طرحنا ${360}^{°}$ من هذه الزاوية سنحصل على مقدار الزاوية $v$, والتي ستعطينا بالطبع نفس قيمة جيب الزاوية المثلثية:

$${420}^{\circ}-{360}^{\circ}={60}^{\circ}$$

لذا $v={60}^{°}$.

ومنها يمكننا استنتاج أن:

$$sin\,{420}^{\circ}=sin\,{60}^{\circ}$$

من القسم السابق نعلم أن$\sin {60}^{°}$ لها قيمة مُحدده دقيقة/مضبوطة. بالتالي سيكون حل هذه المعادلة كما يلي:

$$y=sin\,{420}^{\circ}=sin\,{60}^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

---

مثال آخر

حِل المعادلة

$$x=cos\,{720}^{\circ}$$

بما أن جيب تمام الزاوية $\cos v$ دورته${360}^{°}$ فبالتالي يمكن كتابة جيب تمام الزاوية ${720}^{°}$ على النحو التالي

$$cos\,{720}^{\circ}=cos\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

فعندما تكون n=2, سنحصل على

$$cos\,{720}^{\circ}=cos\,(v+2\cdot {360}^{\circ})=$$

$$=cos\,(v+{720}^{\circ})$$

وهذا يعني أن$v=0^{°}$.

إذن,

$$cos\,{720}^{\circ}=cos\,{0}^{\circ}$$

$\cos 0^{°}$ له قيمة دقيقة معروفة:

$$cos\,{0}^{\circ}=1$$

بالتالي يمكننا كتابة حل هذه المعادلة كما يلي:

$$x=cos\,{720}^{\circ}=cos\,{0}^{\circ}=1$$

---

مثال آخر

اثبت أن

$$tan\,({-315}^{\circ})=1$$

إذا علمنا أن

$$tan\,{45}^{\circ}=1$$

بما أن ظل الزاوية $\tan v$ له دورة 180:

$$tan\,v=tan\,(v+n\cdot {180}^{\circ})$$

حيث أن $v\ne 90$ و n عدد صحيح.

لذلك يمكننا كتابة ظل الزاوية ($-{315}^{°}$) كما يلي

$$tan\,({-315}^{\circ})=tan\,({45}^{\circ}-{360}^{\circ})=$$

$$=tan\,({45}^{\circ}+(-2)\cdot {180}^{\circ})=tan\,{45}^{\circ}=1$$

وهو المطلوب إثباته.

---

فيديو الدرس (بالسويدية)

مراجعة مفهوم الفترة وكيف تكون دائرة الوحدة مفيدة عند حل المسائل المثلثية.