الإثبات في الهندسه والحساب
في الكورس رياضات 1 درسنا كيف يمكن إثبات صحة النظريات الرياضية ومن ثم زيادة فهم مادة الرياضيات. بما في ذلك رأينا كيف يمكننا إثبات صحة نظرية فيثاغورث.
في هذا القسم سنرى كيف يمكننا إثبات صحة النظريات في مجالات الهندسة والحساب.
أساسيات الإثبات الرياضي
من خلال دراسة مادة الرياضيات عادة ما يصادفنا مفهوم النظريات، وهو عبارة عن ادعاء رياضي تم إثباته باستخدام كل من التعريفات، البديهيات والنظريات الأخرى. و بما أن الاثباتات تتم بهذه الطريقة فسيكون معنى النظرية واضحا وبما في ذلك يمكننا تفسير المنطق وتقييمه.
التعريف هو توضيح معنى التعبير الرياضي والغرض منه هو إزالة جميع الشُبهات حول أهدافه. لنأخذ التعريف التالي كمثال: “المثلث قائم الزاوية هو مثلث يحتوي على زاوية قائمة" (نلاحظ أن هذا التعريف يتضمن تعريفين آخرين وهما تعريف المثلث والزاوية القائمة).
البديهية الرياضية هي عباره عن مبدأ رياضي، أي بيان لا يتطلب إثبات، لأنه تم الاتفاق على استخدامه كجزء من أساسيات الرياضيات.
عادة ما يعتمد الإثبات في مجالات الرياضيات المختلفة على الإثبات المنطقي بدلاً من البحث التجريبي.
الإثبات الهندسي
دعونا الآن نرى كيفية إثبات النظريات في مجال الهندسة. كما ذكرنا سابقاً لقد أثبتنا إحدى النظريات الهندسية وهي نظرية فيثاغورس والتي تم إثباتها في الكورس رياضيات 1.
بنفس طُرق إثبات النظريات في مجال الهندسة في كورسات الرياضيات بالمدارس الثانوية يمكننا إثبات النظريات/الادعاءات الأخرى.
لدينا دائرة نصف قطرها r, أثبت أن مساحة المربع الذي طول ضلعه s تساوي مساحة الدائرة, حيث \(s=\sqrt{\pi}\cdot r\).
يمكننا إثبات صحة هذه النظرية باستخدام قانونَي مساحة الدائرة ومساحة المربع.
$${A}_{cirkel}=\pi\cdot {r}^{2}$$
$${A}_{kvadrat}={s}^{2}$$
لإثبات صحة الادعاء علينا إثبات صحة أن
$${A}_{cirkel}={A}_{kvadrat}$$
لنعوض صِيَّغ مساحتي الدائرة والمربع في الادعاء أعلاه:
$$\pi\cdot {r}^{2}={s}^{2}$$
وفقا للادعاء أعلاه لدينا علاقة بين طول ضلع المربع ونصف قطر الدائرة كما يلي
$$s=\sqrt{\pi}\cdot r$$
بتعويض قيمة المتغير s في المعادلة أعلاه يمكننا الحصول على ما يلي:
$$\pi\cdot {r}^{2}={(\sqrt{\pi}\cdot r)}^{2}$$
وبإعادة صِياغة الطرف الأيمن من المعادلة سنحصل على
$${(\sqrt{\pi}\cdot r)}^{2}=\sqrt{\pi}\cdot \sqrt{\pi}\cdot r\cdot r=\pi\cdot {r}^{2}$$
بما أن طرفي المعادلة متساويان فهذا يعني اثبات صحة هذه النظرية.
مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه s. أثبت أن مساحة هذا المثلث تتغير بالعامل 4 إذا تضاعف طول ضلع المثلث من s إلى 2s.
من تعريف المثلث متساوي الأضلاع نعلم أن أضلاعه الثلاثة لها نفس الطول وأن زواياه متساوية وقياس كل منها 60°.
لنفترض أن مساحة المثلث الأصلي هي A1 ومساحة المثلث الأكبر هي A2. مضاعفة طول ضلع المثلث من s إلى 2s سيؤدي الى مضاعفة مساحة المثلث 4 مرات أي أن.
$${A}_{2}=4\cdot {A}_{1}$$
يمكننا إثبات صحة هذه النظرية باستخدام قانون مساحة المُثلث. مساحة المُثلث هي:
$$A=\frac{b\cdot c\cdot sin\,\alpha}{2}$$
حيث أن b و c هما أطوال ضلعين من أضلاع المُثلث و α هو مِقدار الزاوية المحصورة بينهما.
باستخدام قانون مساحة المُثلث يمكننا كتابة مساحة المثُلث الأصلي كما يلي
$${A}_{1}=\frac{s\cdot s\cdot sin\,{60}^{\circ}}{2}=\frac{{s}^{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}={s}^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$$
ومساحة المثُلث الأكبر
$${A}_{2}={(2s)}^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=4{s}^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=$$
$$=4\cdot \left ( {s}^{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \right )=4\cdot {A}_{1}$$
وهذا هو المطلوب إثباته.
الإثبات في مجال الحساب
النظريات في مجال الحساب تتعلق بخصائص الأعداد والعلاقات بين الأعداد. عادة ما يتم إثبات النظريات أو الإدعاءات الحسابية باستخدام الجبر، حيث يتم استخدام المُصطلحات المناسبة أولاً ومن ثم استنتاج النظرية/الادعاء المُراد إثباته.
أثبت أن حاصل ضرب أي عددين صحيحين متتاليين عبارة عن عدد زوجي.
نبدأ باستخدام المصطلحات المناسبة. ليكن العدد الصحيح الأول هو n, ومن ثم العدد الصحيح الثاني سيكون n + 1.
حاصل ضرب هذين العددين هو
$$n\cdot (n+1)$$
بما أن العددين متتاليين فبالتالي إما أن يكون العدد الأول زوجي والعدد الثاني فردي، أو العكس, بمعنى أن الأول فردي والثاني زوجي. أي أن أحد العددين يجب أن يكون عدد زوجي.
وعندما نضرب أي عددين صحيحين (على الأقل) أحدهما عدد زوجي، سيكون ناتج الضرب عدد زوجي. ولهذا فإن ناتج ضرب أي عددين صحيحين متتاليين عباره عن عدد زوجي.
فيديو الدرس (باللغة السويدية)
إثبات صحة أن ثلاثة أرقام متتالية قابلة للقسمة على 3.