حساب الأعداد المركبة في الصيغة القطبية
في القسم السابق شرحنا كيف يمكن كتابة الأعداد المُركبة في الصورة القُطبية. وقبل ذلك تعلمنا أيضاً كيف يمكننا أم نتعامل مع الأعداد المُركبة في صيغة المستطيل حيث رأينا أن العمليات الحسابية معقدة إلى حد ما عندما نتعامل مع ضرب أو قسمة الأعداد المُركبة المكتوبة في هذه الصيغة.
ولذلك سندرس في هذا القسم ضرب وقسمة الأعداد المُركبة في الصورة القُطبية. الصورة القُطبية للأعداد المُركبة تُسهل من اجراء العمليات الحسابية، خاصةً عمليتي الضرب والقسمة.
ضرب وقسمة الأعداد المُركبة في الصيغة القطبية
ليكن لدينا عددين مركبين و , مكتوبين في الصيغة القطبية
$${z}_{1}=|{z}_{1}|\cdot (cos\,v+i\cdot sin\,v)$$
$${z}_{2}=|{z}_{2}|\cdot (cos\,u+i\cdot sin\,u)$$
حيث أن و هما القيّم المطلقة للعددين المركبين والزاويتين و هما سعتي العددين المركبين على الترتيب. في مثل هذه الحالات تنطبق القواعد الحسابية التالية على عمليتي ضرب وقسمة هذه الأعداد المُركبة.
الضرب
$${z}_{1}\cdot {z}_{2}=|{z}_{1}|\cdot |{z}_{2}|\cdot (cos\,(v+u)+i\cdot sin\,(v+u))$$
القسمة
$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{|{z}_{1}|}{|{z}_{2}|} \cdot (cos\,(v-u)+i\cdot sin\,(v-u))$$
إذا أردنا مثلاً ضرب العددين المُركبين التاليين.
$$z=6\cdot (cos\,{40}^{\circ}+i\cdot sin\,{40}^{\circ})$$
$$w=2\cdot (cos\,{15}^{\circ}+i\cdot sin\,{15}^{\circ})$$
نلاحظ أن العددين مكتوبين في الصورة القطبية. والآن نريد تحديد كل من القيمة المطلقة والسعة لكل من العددين المركبين، ومن ثم تطبيق قاعدة الضرب المذكورة أعلاه لنحصل على:
$$z\cdot w=6\cdot 2\cdot (cos\,({40}^{\circ}+{15}^{\circ})+i\cdot sin\,({40}^{\circ}+{15}^{\circ}))=$$
$$=12\cdot (cos\,{55}^{\circ}+i\cdot sin\,{55}^{\circ})$$
الآن لدينا ناتج ضرب العددين المركبين في الصورة القطبية.
مثال على قسمة الأعداد المُركبة.
$$z=6\cdot (cos\,{40}^{\circ}+i\cdot sin\,{40}^{\circ})$$
$$w=2\cdot (cos\,{15}^{\circ}+i\cdot sin\,{15}^{\circ})$$
بنفس الطريقة التي اتبعناها في حالة الضرب علينا فقط تطبيق قاعدة قسمة الأعداد المُركبة المذكورة أعلاه ومن ثم نحصل على
$$\frac{z}{w}=\frac{6}{2}\cdot (cos\,({40}^{\circ}-{15}^{\circ})+i\cdot sin\,({40}^{\circ}-{15}^{\circ}))=$$
$$=3\cdot (cos\,{25}^{\circ}+i\cdot sin\,{25}^{\circ})$$
الآن لدينا ناتج قسمة العددين المركبين في الصورة القطبية.
ڤيديو الدرس (بالسويدية)
تحويل الأعداد المُركبة من صيغة المُستطيل الى الصيغة القُطبية.