صيغة ديموڤر-de Moivre

في الدورة رياضيات 1 درسنا كيف يمكننا حساب قوى الأعداد الحقيقية. في القسم السابق رأيناكيف يمكننا بسهولة ضرب الأعداد المُركبة في صورتها القُطبية.

في هذا القسم سنتعلم كيف يمكننا حساب قوى الأعداد المُركبة باستخدام صيغة ديموڤر-de Moivre. من خلال حساب قوى الأعداد المُركبة يمكننا إيجاد حلول معادلات القوى.

قوى الأعداد المرُكبة

إذا كان العدد $z$ عددا مركبا فيمكننا كتابة قوى هذا العدد المُركب كما يلي

$${z}^{n}$$

حيث $n$ عدد صحيح موجب.

في القسم السابق ناقشنا قاعدة حساب ضرب العددين المركبين ومن ثم إذا أردنا حساب عدد مركب مرفوع للقوة 2 فسيكون حساب هذه القوة عبارة عن ضرب عددين مركبين متطابقين.

ليكن لدينا العدد المُركب التالي

$$z=cos\,v+i\cdot sin\,v$$

حيث أن $v=arg z$. لذلك فان هذا عبارة عن عدد مُركب مكتوب في الصيغة القطبية، حيث أن قيمته المطلقة تساوي 1.

وفقا لقاعدة ضرب الأعداد المركبة يمكننا تربيع العدد $z$ لنحصل على ناتج الضرب التالي

$${z}^{2}=z\cdot z=cos\,(v+v)+i\cdot sin\,(v+v)=$$

$$=cos\,2v+i\cdot sin\,2v$$

فإذا أردنا قيمة نفس العدد المركب $z$ مرفوع للقوة 3 فيمكن حسابها كما يلي

$${z}^{3}={z}^{2}\cdot z=cos\,(2v+v)+i\cdot sin\,(2v+v)=$$

$$=cos\,3v+i\cdot sin\,3v$$

صيغة ديموافر

بنفس الطريقة يمكننا الوصول إلى أن أي عدد مركب $z$ قيمته المطلقة 1 وقوته عدد صحيح موجب $n$ يمكننا حساب قيمة قوته باستخدام الصيغة التالية:

$${z}^{n}={(cos\,v+i\cdot sin\,v)}^{n}=cos\,nv+i\cdot sin\,nv$$

حيث $z$ هي:

$$z=cos\,v+i\cdot sin\,v$$

$n$ عدد صحيح موجب و $v=arg z$

سُمية هذه الصيغة بصيغة ديمواڤر-de Moivre وفقا لاسم عالم الرياضيات الفرنسي أبراهام ديموڤر.

إذا أخذ العدد المركب $z$ قيمة مطلقة غير 1 سنحصل على الصيغة العامة التالية لحساب قوى الاعداد المُركبة.

$${z}^{n}={|z|}^{n}\cdot (cos\,nv+i\cdot sin\,nv)$$

حيث $n$ عدد صحيح موجب و $v=arg z$.

من بين أمور أخرى فان صيغة ديموفر مفيدة جدا في ايجاد حلول معادلات القوى من النوع التالي

$${z}^{n}=w$$

$z$ و $w$ يمكن أن يكونا عددين مركبين، حيث يمكننا إعادة كتابة الطرف الأيسر لهذه المعادلة بسهولة.

---

أحسب ${\mathit{z}}^{\mathbf{3}}$ ثم أكتب النتيجة في صيغة المستطيل

إذا كان لدينا

$$z=4\cdot \left (cos\,\frac{2\pi}{3}+i\cdot sin\,\frac{2\pi}{3} \right )$$

فان صيغة ديموفر ستعطينا ما يلي:

$${z}^{3}={|z|}^{3}\cdot \left (cos\,3v+i\cdot sin\,3v \right )$$

مع

$$|z|=4$$

و

$$v=arg\,z=\frac{2\pi}{3}$$

سنحصل على

$${z}^{3}={4}^{3}\cdot \left (cos\,\left (3\cdot \frac{2\pi}{3} \right )+i\cdot sin\,\left (3\cdot \frac{2\pi}{3} \right ) \right )=$$

$$=64\cdot \left (cos\,2\pi+i\cdot sin\,2\pi \right )=$$

$$=64\cdot \left (cos\,0+i\cdot sin\,0 \right )=$$

$$=64\cdot \left (1+i\cdot 0 \right )=64$$

---

فيديو الدرس (بالسويدية)

مثال على صيغة ديموڤرـde Moivres.