حَل المعادلات المُثلثية

باستخدام ما يُعرف بدائرة الوحدة توصلنا في القسم السابق إلى أن جيب وجيب تمام أي زاوية $v$ لهما دورة ${360}^{°}$, وظل أي زاوية $v$ له دورة ${180}^{°}$.

في هذا القسم سنستخدم هذه الخصائص لحل المعادلات المثلثية, بحيث تكون القيمة المُثلثية معروفة بينما قيمة الزاوية نفسها غير معروفة.

عندما يكون لدينا معادلة معلومٌ فيها القيمة المثلثية ونريد إيجاد الزاوية فسيكون لدينا ثلاثه حالات أساسية نحتاج إلى معالجتها.

الحالة الأولى عندما تكون القيمة المُثلثية $a$ معلومة لجيب زاوية مجهولة $v$:

$$sin\,v=a$$

الحالة الثانية عندما تكون القيمة المُثلثية $b$ معلومة لجيب تمام زاوية مجهولة $v$:

$$cos\,v=b$$

الحالة الثالثة عندما تكون القيمة المُثلثية $c$ معلومة لظل زاوية مجهولة $v$:

$$tan\,v=c$$

فيما يلي سندرس كل حالة من حالة من هذه الحالات بصوره منفصلة.

$\sin v=a$

كما رأينا سابقا فإن قيمة $\sin v$ تُعادل إحداثي $y$ لنقطة عشوائية على محيط دائرة الوحدة. إذا كان لدينا قيمة مُثلثية معروفة $a$ والتي تنطبق عليها العلاقة

$$sin\,v=a$$

فهذا يعني أن هناك حلين لهذه المعادلة المُثلثية في الفتره $0^{°}\le v\le {360}^{°}$ كما في الشكل التالي:

يمكننا إيجاد حل لهذه المعادلة إذا استخدمنا الآلة الحاسبة لحساب

$$v_1=arcsin\,a$$

إذا كان لدينا على سبيل المثال لدينا المعادلة المُثلثية

$$sin\,v=\frac{1}{2}$$

فسوف يكون

$$v_1=arcsin\,\left (\frac{1}{2} \right )={30}^{\circ}$$

هذا عباره عن حل واحد للمعادلة. في رياضيات 3 قسم المعادلات المُثلثية توصلنا إلى أن الحل الثاني للمعادلة في الفتره الزّاوييه $0^{°}\le v\le {360}^{°}$ يمكن الوصول اليه من المعادلة:

$$sin\,v=sin\,({180}^{\circ}-v)$$

حيث أن $v$ هي الزاوية التي يمكننا الحصول عليها باستخدام الآلة الحاسبة.

وبالتالي فإن الحل الثاني للمعادلة سيكون على النحو التالي:

$$v_2={180}^{\circ}-v_1$$

في هذا المثال توصلنا إلى أن $v_1={30}^{°}$, فهذا يعني أن الحل الثاني هو

$$v_2={180}^{\circ}-v_1={180}^{\circ}-{30}^{\circ}={150}^{\circ}$$

أي أن قيمتي هاتين الزاويتين هما حلين للمعادلة ويقعان في الفترة $0^{°}\le v\le {360}^{°}$.

ولكن بما أن جيب الزاوية $\sin v$ دورته ${360}^{°}$, يمكننا الحصول على الحلول التالية، حيث يمكننا أن نبحث عن حلول لزوايا $v$ (عشوائية) أكبر:

$$v={30}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

حيث أن n عدد صحيح, و

$$v={150}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

حيث أن n عدد صحيح.

$\cos v=b$

بنفس المفهوم الذي ناقشنا به جيب الزاوية أعلاه فإن القيمة المُثلثية لجيب تمام الزاوية $\cos v$ تُعادل إحداثي $x$ لنقطة عشوائية على محيط دائرة الوحدة. أفرض أن لدينا قيمة مُثلثية معروفة $b$ تنطبق عليها العلاقة

$$cos\,v=b$$

ففي هذه الحالة هناك أيضاً حلين لهذه المعادلة المثلثية في الفترة $0^{°}\le v\le {360}^{°}$ كما في الشكل التالي:

يمكن إيجاد أحد هذين الحلين (أقل زاوية موجبة $v$) باستخدام الآلة الحاسبة وذلك بحساب الجتا العكسي

$$v_1=arccos\,b$$

إذا كان لدينا على سبيل المثال المعادلة المُثلثية

$$cos\,v=\frac{1}{2}$$

أي أن $b=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$, ومنها يكمن إيجاد الزاوية المطلوبة كما يلي

$$v_1=arccos\,\left (\frac{1}{2} \right )={60}^{\circ}$$

هذا هو الحل الأقل من بين الحلين في الفترة $0^{°}\le v\le {360}^{°}$. أما الحل الثاني فسيكون عند النقطة الثانية على محيط دائرة الوحدة والتي يكون فيها إحداثي $x$ هو $x=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$. والنقطة الثانية يمكننا إيجادها باستخدام العلاقة

$$cos\,v=cos\,({360}^{\circ}-v)$$

حيث أن الزاوية $v$ يمكن الحصول عليها باستخدام الآلة الحاسبة.

بالتالي فإن الحل الثاني للمعادلة سيكون كما يلي:

$$v_2={360}^{\circ}-v_1$$

بما أن الزاوية$v_1={60}^{°}$ إذن الحل الثاني سيكون

$$v_2={360}^{\circ}-v_1={360}^{\circ}-{60}^{\circ}={300}^{\circ}$$

وبالتالي فإن قيمتي الزاويتين $v_1$ و $v_2$ هما الحلين في الفترة $0^{°}\le v\le {360}^{°}$.

ولكن بما أن جيب تمام الزاوية $\cos v$ دورته ${360}^{°}$, يمكننا الحصول على الحلول التالية:

$$v={60}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

حيث أن n عدد صحيح, و

$$v={300}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

حيث أن n عدد صحيح.

$\tan v=c$

عند إيجاد حلول لمعادلة مُثلثية من هذا النوع

$$tan\,v=c$$

يجب علينا أن نتذكر أن ظل أي زاوية $v$ له دورة ${180}^{°}$. ويمكننا حساب الزاوية $v$ كما يلي

$$v=arctan\,c$$

فإذا كان على سبيل المثال القيمة المُثلثية هي $c=1$, فيمكننا حل المعادلة على النحو التالي

$$v=arctan\, 1={45}^{\circ}$$

هذا هو حل واحد فقط لهذه المعادلة المُثلثية. وبما أن ظل الزاوية $v$ له دورة ${180}^{°}$, فيمكننا أن نحصل على جميع الحلول للمعادلة كما يلي:

$$v={45}^{\circ}+n\cdot {180}^{\circ}$$

معادلات مُثلثية أكثر تعقيدا

فيما سبق أعلاه رأينا كيف يمكننا حل المُعادلات المُثلثية البسيطة باستخدام دائرة الوحدة والخاصية الدورية لكل من جيب وجيب تمام وظل الزاوية $v$.

ومع ذلك قد تقابلنا في بعض الأحيان مُعادلات مُثلثية تحتوي على تعبيرات أكثر تعقيدا يجب علينا معالجتها أولاً.

---

دعونا ننظر الآن إلى أمثله لهذا النوع من المُعادلات المُثلثية وكيفية حلها.

حِل المعادلة

$$sin\,5x=\frac{1}{2}$$

في الفتر $0^{°}\le x\le {90}^{°}$.

الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة هي إيجاد قيمة الـــ $5x$.

$$5x=arcsin\left (\frac{1}{2} \right )={30}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

بما أن دورة جيب الزاوية هي 360 درجه سنحصل على المعادلة التالية

$$5x=30^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}$$

كما رأينا سابقاُ سيكون لدينا حل آخر لـــــــ $\sin v=\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$ يجب أخذه في الاعتبار وهو

$$5x=({180}^{\circ}-{30}^{\circ})+n\cdot {360}^{\circ}=$$

$$={150}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

وفي هذه الحالة سيكون لدينا المعادلة التالية

$$5x=150^{\circ}+n\cdot 360^{\circ}$$

لإيجاد قيمة $x$ من المُعادلتين أعلاه سنقسم طرفي كل معادلة على 5 مما يعني وجوب قسمة الدورة ${360}^{°}$ على 5 أيضا, لذا سيكون لدينا الحالتين التاليتين:

الحالة الأولى

$$\frac{5x}{{\color{Blue} 5}}=\frac{{30}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}$$

$$x=\frac{{30}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}+\frac{n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}$$

$$x={6}^{\circ}+n\cdot {72}^{\circ}$$

حيث لدينا الفترة $0^{°}\le x\le {90}^{°}$, سنحصل على الحلين التاليين:

$$x_1={6}^{\circ}$$

$$x_2={6}^{\circ}+{72}^{\circ}={78}^{\circ}$$

الحالة الثانية

$$\frac{5x}{{\color{Blue} 5}}=\frac{{150}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}$$

$$x=\frac{{150}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}+\frac{n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 5}}$$

$$x={30}^{\circ}+n\cdot {72}^{\circ}$$

حيث لدينا نفس الفترة $0^{°}\le x\le {90}^{°}$, سنحصل على حل ثالث كما يلي:

$$x_3={30}^{\circ}$$

بالتالي تمكنا من إيجاد ثلاثة حلول لمُعادلتنا المُثلثية في الفترة $0^{°}\le x\le {90}^{°}$, ويمكن تلخيصها على النحو التالي:

$$x_1={6}^{\circ}$$

$$x_2={78}^{\circ}$$

$$x_3={30}^{\circ}$$

---

مثال آخر

حِل المعادلة

$$cos\,(3x+{15}^{\circ})=0$$

الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة هي إيجاد قيمة $3x+{15}^{°}$.

$$3x+{15}^{\circ}=arccos\,0={90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

بما أن دورة جيب تمام الزاوية هي 360 درجه سنحصل على المعادلة التالية

$$3x+{15}^{\circ}={90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

هذا هو الوضع الأول ولكن علينا أن نتذكر أن هناك زاوية أخرى $v$ حيث أن $\cos v=0$ وهو كما يلي

$$v={90}^{\circ}+{180}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}=$$

$$={270}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

وهذا يعطينا المعادلة التالية

$$3x+{15}^{\circ}={270}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

وهذا هو الوضع الثاني.

(هناك طريقة أخرى لكتابة هذه الحالة وهي

$$3x+{15}^{\circ}={-90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

وهي معادلة مماثله للمعادلة الأخيرة أعلاه.)

تماما كما في المثال السابق علينا الانتباه لدورة الجتا وإيجاد جميع الحلول الممكنة عند حل هذا النوع من المعادلات.

الحالة الأولى

$$3x+{15}^{\circ}={90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$3x+{15}^{\circ}{\color{Red} \,-\,{15}^{\circ}}={\color{Red} {-\,15}^{\circ}}+{90}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$3x={75}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}=\frac{{75}^{\circ}}{{\color{Blue} 3}}+\frac{n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 3}}$$

$$x={25}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

الحالة الثانية

$$3x+{15}^{\circ}={270}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$3x+{15}^{\circ}{\color{Red} \,-\,{15}^{\circ}}={\color{Red} -\,{15}^{\circ}}+{270}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$3x={255}^{\circ}+n\cdot {360}^{\circ}$$

$$\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}=\frac{{255}^{\circ}}{{\color{Blue} 3}}+\frac{n\cdot {360}^{\circ}}{{\color{Blue} 3}}$$

$$x={85}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

بما أنه ليس لدينا فترة محددة للحلول كما في المثال السابق فسيكون لدينا الحلول التالية لهذه المعادلة المُثلثية:

$$x={25}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

أو

$$x={85}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

---

فيديو الدرس (بالسويدية)

حَل المُعادلات المُثلثية.