الراديان - Radianer

في الدورات السابقة ذكرنا حجم الزوايا باستخدام وُحدة الدرجات بشكل حصري. ومع ذلك هناك طُرق أخرى لتحديد حجم الزوايا وبديل الدرجات الأكثر استخداماً هو الراديان وهو عبارة عن وحدة من وُحدات قياس الزوايا التي سنتعرف عليها في هذا القسم.

عندما نتعامل مع الزوايا اعتدنا على أن الدورة الكاملة تُعادل زاوية مقدارها ${360}^{°}$ وربع الدورة يُعادل زاوية مقدارها ${90}^{°}$ وهكذا. ومع ذلك فإن حقيقة أن دورة كاملة تُعادل 360 درجة بالضبط قد تبدو تعسفية أو اعتباطيّ الى حد ما.

استخدام وُحدة الراديان لقياس الزوايا بدلاً من الدرجات يُعتَبَر طريقة لتقريب العلاقة بين مقدار الزاوية والخصائص الهندسية للدائرة, وبشكل أكثر تحديدًا محيطها. ولهذا فمن الشايع إستخدام وُحدة الراديان لتحديد مقدار الزوايا في السياقات العلمية والتكنولوجية لأن هذا غالبا ما يؤدي الى صِيّغ أبسط من الحالات التي يتم فيها استخدام الدرجات.

من دراساتنا السابقة للهندسة نعلم أن محيط الدائرة يمكن كتابته بشكل عام وفقًا للصيغة

المُحيط = \(2\pi r\) وُحده طولية

حيث أن $r$ هو نصف قطر الدائرة.

إذا بدأنا بدائرة الوحدة فإن لها نصف قطر طوله 1 وحدة طول، ما يعني أن محيطها هو

محيط دائرة الوُحده = \(2\pi\) وُحده طوليه

وهذا هو طول محيط دائرة الوحدة. لكل زاوية $v$ في دائرة الوحدة سنحصل على قوس دائري له طول معين؛ يُمثل طول هذا القوس مقدار هذه الزاوية بوُحدة الراديان ويشار اليها بالراد - rad.

الدورة الكاملة تُعادل $2\pi$ راديان وهي بالتالي نفس الــــ ${360}^{°}$. نصف الدورة يساوي $\mathrm{\pi }$ راديان ورُبع الدورة يساوي $\raisebox{1ex}{$\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$ راديان.

بصورة عامه يمكن كتابة:

$$1\,rad=\frac{{360}^{\circ}}{2\pi}=\frac{{180}^{\circ}}{\pi}\approx{57,3}^{\circ}$$

$${1}^{\circ}=\frac{2\pi}{360}\,rad=\frac{\pi}{180}\,rad\approx0,0175\,rad$$

وهذا يعني أن هناك حوالي 6.3 راديان (بالضبط $2\pi$ راديان) في الدورة الكاملة.

في الجدول أدناه لدينا كيفية تحويل مقدار الزاوية بين الدرجات والراديان لبعض الزوايا الأكثر شيوعاً.

الدرجات	الراديان
\(0^{\circ}\)	\(0\)
\(30^{\circ}\)	\(\frac{\pi}{6}\)
\(45^{\circ}\)	\(\frac{\pi}{4}\)
\(60^{\circ}\)	\(\frac{\pi}{3}\)
\(90^{\circ}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(180^{\circ}\)	\({\pi}\)
\(270^{\circ}\)	\(\frac{3\pi}{2}\)
\(360^{\circ}\)	\(2\pi\)

إذا كان لدينا زاوية معروفة محددة بالدرجات ($v_g$) فيمكننا تحويل مقدارها إلى وحدة الراديان ($v_r$) باستخدام الصيغة التالية::

$$v_r=v_g\cdot \frac{\pi}{{180}^{\circ}}$$

بنفس الطريقة يمكننا تحويل وُحدة الزوايا من الراديان إلى الدرجات باستخدام الصيغة التالية:

$$v_g=v_r\cdot \frac{{180}^{\circ}}{\pi} $$

---

فيديو الدرس (بالسويدية)

كيفية حساب الزاوايا بالدرجات والراديان.