قابلية القسمة

في الدورة رياضيات 1 قد تعلمنا بالفعل ما هي عملية قابلية القسمة.

يُقال أن العدد الصحيح $a$ قابل القسمة على العدد الصحيح $b$ $\left(b\ne 0\right)$ إذا كان خارج قسمة $a/b$ عبارة عن عدد صحيح $c$. أي أن الباقي سيكون صفراً عند إجراء قسمة العدد $a$ علــــى العدد $b$.

عندما يكون العدد $a$ قابل القسمة على $b$ نقول أن $b$ قاسم للعدد $a$.

على سبيل المثال العدد الصحيح 12 قابل القسمة على 3, حيث أن خارج قسمة 12/3 يساوي العدد الصحيح 4. ففي هذه الحالة نقول أن العدد الصحيح 4 عبارة عن قاسم للعدد 12. وعلى عكس ذلك فان العدد الصحيح 7 على سبيل المثال لا يُعتبر قاسما للعدد 12 لأن خارج قسمة 12/7 لا يعطي عدد صحيح.

رياضياً يمكن كتابة أن العدد $b$ قاسم للعدد $a$ كما يلي:

$$b\,|\,a$$

على سبيل المثال يمكننا كتابة أن العدد الصحيح 3 قاسم للعدد 12 كما يلي:

$$3\,|\,12$$

الأعداد الأولية والتحليل إلى عوامل​​

عندما يكون العدد الصحيح $b$ قاسم للعدد الصحيح $a$ فهذا يعني أنه يمكننا تحليل العدد $a$ الى عوامل أولية حيث أن العدد $b$ أحد عوامل العدد $a$.

على سبيل المثال العدد 3 هو قاسم للعدد 12, فهذا يعني أنه يمكننا تحليل العدد 12 إلى عوامل بحيث يكون العامل 3 أحد هذه العوامل, وذلك لأن

$$12=3\cdot 4$$

يمكننا إيجاد جميع قواسم العدد بتحليل العدد إلى عوامل أولية أولاً. التحليل إلى العوامل الأولية يعني ببساطة أن نكتب العدد كحاصل ضرب عوامل جميعها عبارة عن أعداد أولية. لقد تعرفنا على الأعداد الأولية سابقاً في الدورة رياضيات 1.

يمكننا على سبيل المثال تحليل العدد 12 إلى عوامل أولية باستخدام الأعداد الأولية 2 و3 على النحو التالي:

$$12=2\cdot 2\cdot 3$$

هذه هي الطريقة الوحيدة التي يمكننا أن نُحلل بها العدد 12 إلى عوامل أولية. في الواقع هناك طريقة واحدة فقط لتحليل العدد الصحيح إلى عوامل أولية.

ولإيجاد جميع قواسم العدد 12 الموجبة سنقوم باستنتاجها من هذه العوامل الأولية بكل الطُرق المُمكنة:

العددان 2, 3 هما قاسمان للعدد 12 وذلك لأنه يمكننا اسخدامهما لتحليل العدد 12.

الأعداد 4, 6, 12 هي أيضا قواسم للعدد 12 لأنها ناتجة من تباديل حاصل ضرب العوامل الأولية 2 و3:

$$4=2\cdot 2$$

$$6=2\cdot 3$$

$$12=2\cdot 2\cdot 3$$

العدد 1 أيضا قاسم للعدد 12 لأن جميع الأعداد الصحيحة تقبل القسمة على العدد 1.

وبهذه الطريقة يمكننا إيجاد قواسم أي عدد صحيح وذلك من خلال استخدام التحليل إلى عوامل أولية.

---

أوجد جميع القواسم الموجبة للعدد 70.

لحل هذه المسألة علينا تحليل العدد 70 إلى عوامله الأولية أولاً, وهذا ما يمكننا فعله خطوة بخطوة حتى يصبح التعبير عبارة عن عوامل أولية فقط:

$$70=10\cdot 7=2\cdot 5\cdot 7$$

أي يمكننا تحليل العدد 70 إلى عوامل أولية باستخدام الأعداد الأولية 2, 5 و7.

ولذلك فإن الأعداد الأولية 2, 5 و7 هي قواسم للعدد 70.

ويمكننا بكل سهولة إيجاد قواسم العدد 70 الأخرى وذلك من خلال تبديل حاصل ضرب هذه الأعداد الأولية الثلاثة:

$$10=2\cdot 5$$

$$14=2\cdot 7$$

$$35=5\cdot 7$$

$$70=2\cdot 5\cdot 7$$

وبالإضافة إلى هذه القواسم لدينا القاسم 1 أيضاً, كساير الأعداد الصحيحة.

إذن الأعداد الموجبة التي تُمثل قواسم للعدد 70 هي 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 و70.

---

خارج القسمة والباقي

عندما درسنا قابلية القسمة أعلاه كان اهتمامنا بالحالة التي يكون فيها ناتج قسمة العددين الموجبين $a$ و $b$ عدد صحيح $c$ فقط.

ومثال على ذلك هو ناتج قسمة 12/3 ويساوي 4.

لكن خِلاف ذلك فان ناتج قسمة 12/7 ليس عددا صحيحا. يمكننا كتابة ناتج هذه القسمة في صورة ممزوجة:

$$\frac{12}{7}=\frac{7}{7}+\frac{5}{7}=1\frac{5}{7}$$

هنالك طريقة أخرى لكتابة ناتج قسمة 12/7 وذلك من خلال استخدام مفهوم الناتج والباقي. لدينا 7 واحدة فقط في العدد 12 والباقي 5 وهذا ما يمكننا كتابته رياضيا كما يلي:

$$\frac{12}{7}=1\text{ rest }5$$

أي أن حاصل قسمة 12 علــى 7 يساوي 1 والباقي 5.

أو بالطريقة التالية:

$$12=1\cdot 7+5$$

بصورة عامة يمكننا كتابة ناتج قسمة أي عددين موجبين $a$ و $b$ $\left(b\ne 0\right)$ على النحو التالي

$$\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}$$

حيث أن $q$ هو ناتج القسمة, و$r$ هو الباقي. فاذا كان الباقي $r = 0$, فهذا يعني أن $b$ عبارة عن قاسم للعدد $a$.

ويمكننا الحصول على الصيغة الأخرى بضرب الطرفين في العدد $b$:

$$a=b\cdot q +r$$

سنتعرف على مفهوم الناتج والباقي بصورة أكثر عندما ندرس التطابق في القسم القادم.

---

فيديو الدرس بالسويدية