التوافيق

في القسم السابق تعرفنا على مفهوم التباديل وتعلمنا كيف يمكن حساب التباديل لإختيار $k$ عنصر من بين $n$ عنصر ويُرمز لذلك بـ $P(n, k)$.

في هذا القسم سنتعلم مفهوم التوافيق وعلاقتها بالتباديل, كما سنتعلم كيف يمكننا حساب التوافيق

التوافيق

عندما درسنا التباديل في القسم السابق بدأنا بإختيار $k$ عنصر من مجموعة تتألف من $n$ عنصر، مع الأخذ في الاعتبار ترتيب هذه العناصر المختارة. وأشرنا إلى أن رمز التباديل الرياضي هو $P(n, k)$ ويتم حسابها على النحو التالي:

$$P(n,\,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

حيث $0\le k\le n$.

فإذا كان على سبيل المثال لدينا المجموعة $\left\{a, b, c, d\right\}$ ونريد اختيار ثلاثة عناصر من بين هذه العناصر الأربعة، فيمكننا حساب عدد التباديل والوصول الى أن عدد الطُرق الممكنة هو 24 وذلك باستخدام الصيغة أعلاه. فإذا نظرنا الى بعض الخيارات من بين هذه التباديل الـ 24 سنلاحظ أن كل منها يحتوي على نفس العناصر الثلاثة ولكن ترتيبها مختلف: $$abc, acb, bac, bca, cab, cba$$ أما إذا كن الأمر يتعلق باختيار العناصر فقط ولا نهتم بترتيبها فهذا يعني أننا نتعامل مع موقف مختلف.

في المثال أعلاه تم اختيار ثلاثة عناصر من بين عناصر المجموعة الأربعة $\left\{a, b, c, d\right\}$ حيث كانت تحتوي الخيارات على التباديل $abc$, $acb$, $bac$, $bca$, $cab$ و $cba$ أي أن جميع الخيارات تتألف من نفس الثلاثة عناصر $a$, $b$ و $c$. أما إذا أردنا الإختيار فقط دون الاهتمام بترتيب العناصر المُختارة, ففي هذه الحالة سيتم حساب طريقة واحدة (تباديل واحدة) فقط.

اختيار $k$ عنصر من مجموعة تتألف من $n$ عنصر بدون مراعاة ترتيب العناصر المُختارة يُسمى بالتوافيق.

توافيق $k$ عنصر من مجموعة تتكون من $n$ عنصر يرمز لها بـ $C(n, k)$ أو \( \binom{n}{k} \) حيث أن \( \binom{n}{k} \) تُقرأ "$n$ على $k$", ويتم حسابها على النحو التالي:

$$C(n,\,k)=\binom{n}{k}=\frac{P(n,\,k)}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$$

حيث $0\le k\le n$.

وفقاً لهذه الصيغة فيمكننا حساب عدد التوافيق $C(n, k)$ من خلال حساب عدد التباديل $P(n, k)$ أولاً ومن ثم قسمة $P(n, k)$ علـى $k!$ (مضروب الـ $k$) وذلك للتخلص من عملية حساب التباديل عِدة مرات لأن الترتيب لا يهمنا.

---

هنالك خمسة كتب مختلفة على رف ونريد اختيار كتابين من بين هذه الكتب لأخذهم معنا عندما نسافر.

كم عدد الطُرق الممكنة لاختيار أي كتابين من بين هذه الكتب الخمسة بغض النظر عن الترتيب الذي يتم به الاختيار؟

بما أننا لا نهتم بالترتيب الذي يتم به اختيار هذين الكتابين فهذا يعني أننا سنحسب عدد التوافيق. لدينا خمسة عناصر (خمسة كتب مختلفة) سنختار منها عنصرين (كتابين).

وبالتالي يمكننا حساب عدد الطُرق على النحو التالي:

$$C(5,\,2)=\binom{5}{2}=\frac{5!}{(5-2)!\cdot 2!}=$$

$$=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=$$

$$=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!\cdot 2}=$$

$$=\frac{5\cdot 4}{2}=10$$

ما توصلنا إليه هو أننا يمكننا اختيار أي كتابين من بين هذه الكتب الخمسة بعشرة طُرق مختلفة.

---

خاصية التماثل

عند حساب التوافيق فغالبا ما تواجهنا حالات بها أعداد كبيرة. ففي مثل هذه الحالات يمكننا استخدام خاصية التماثل لتبسط عملياتنا الحسابية.

فإذا كان على سبيل المثال لدينا خمسة كتب في مكتبة ونريد اختيار أي كتابين من بين هذه الكتب بغض النظر عن الترتيب، ففي هذه الحالة سنلاحظ أن عدد طُرق اختيار الكتابين يُماثل عدد طُرق اختيار الثلاثة كتب التي ستبقى على الرف (أي الكتب التي لم يتم اختيارها).

وهذا يعني أن التساوي التالي ينطبق:

$$\binom{5}{2}=\binom{5}{3}$$

وبصورة عامة فإن عدد التوافيق لاختيار $k$ عنصر من بين $n$ عنصر هي نفس عملية اختيار $(n-k)$ عنصر من بين الـ $n$ عنصر:

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

يمكننا اشتقاق هذه القاعدة الحسابية باستخدام الصيغة العامة للتوافيق:

$$\binom{n}{n-k}=\frac{P(n,\,n-k)}{(n-k)!}=$$

$$=\frac{n!}{(n-(n-k))!\cdot (n-k)!}=$$

$$=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}=$$

$$=\frac{P(n,\,k)}{k!}=\binom{n}{k}$$

وفيما يلي يمكننا تطبيق هذه القاعدة على المثال أعلاه, أي مثال اختيار كتابين من بين خمسة كتب:

$$\binom{5}{2}=\binom{5}{5-2}=\binom{5}{3}=\frac{5!}{(5-3)!\cdot 3!}=\frac{5!}{2!\cdot 3!}=$$

$$=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{2\cdot 3!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$$

بالإضافة إلى هذه القاعدة الحسابية لدينا أيضا قاعدة أخرى مفيدة وهي أن عدد التوافيق عند اختيار صفر أو اختيار جميع العناصر من بين $n$ عنصر.

يتم اختيار صفر عنصر من بين $n$ عنصر بطريقة واحدة فقط (عدم اختيار أي عنصر):

$$\binom{n}{0}=\frac{n!}{(n-0)!\cdot 0!}=\frac{n!}{n!\cdot 1}=1$$

كما أن عملية اختيار الـ $n$ عنصر جميعها تتم بطريقة واحدة فقط (اختيار الـ $n$ عنصر كلها مرة واحدة):

$$\binom{n}{n}=\frac{n!}{(n-n)!\cdot n!}=\frac{n!}{0!\cdot n!}=\frac{n!}{1\cdot n!}=1$$

---

ڤيديو الدرس بالسويدية