مفهوم المجموعة

في هذا القسم سنتعرف على مفهوم المجموعة, كما سنقدم طُرق مختلفة لوصف المجموعات، هذه الطُرق يتم استخدامها في هذه الدورة ومن المهم معرفتها في دراسة الرياضيات المُتقدمة.

المجموعات

هناك العديد من الحالات التي قد نرغب فيها في تصنيف عدد من الأشياء أو الأهداف من نوع مُعين بالإضافة الى تسمية هذه المجموعة من الأشياء/الأهداف اسم مُشترك يشملها كلها. هذه المجموعة من الأشياء/الأهداف قد تكون عبارة عن أعداد، كلمات، حروف، أشخاص، ألوان أو أي شيء آخر (في هذا السياق سنتعامل مع الأعداد بصورة أساسية). بحيث يمكننا جمع هذه الأشياء/الأهداف في نطاق مُعين يُسمى بالمجموعة. كل هدف/شئ داخل مجموعته يُسمى بالعنصر.

هناك ثلاثة طرق معروفة يمكن استخدامها لوصف عناصر مجموعة مُعينة.

الطريقة الأولى هي وصف المجموعة نصياً. فيمكننا على سبيل المثال وصف المجموعة $A$ بالنص "$A$ هي مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من 3." في بعض الأحيان تعمل هذه الطريقة بصورة جيّدة، ولكن عندما نتعامل مع المجموعات المعقدة فقد يكون النص طويل ومعقد مما ينتج صعوبة في عملية تفسير مواصفات المجموعة.

الطريقة الثانية لوصف المجموعات هي سرد عناصر المجموعة وكتابتها رياضياً. فيمكننا على سبيل المثال وصف المجموعة $A$ التي تتألف من جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأكبر من 3 على النحو التالي:

$$A=\{3,\,4,\,5,\,...\}$$

كتابة الثلاثة نقاط بالطريقة أعلاه "..." عند نهاية سلسلة الأعداد تعني أن المتتالية مستمرة بنفس النمط. ولكن أحيانا قد يصعب وصف المجموعات بهذه الطريقة وذلك لأن النمط الذي يتبعه تسلسل أعداد المجوعة لا يكون واضحا دائما. في بعض الحالات الأخرى لا تتبع عناصر المجموعة نمطًا معينًا وفي هذه الحالات ليس من المناسب وصف المجموعات بهذه الطريقة.

الطريقة الثالثة لوصف المجموعات هي طريقة البناء الرياضية باستخدام لغة الرياضيات. يمكن وصف المجموعة $A$ أعلاه مرة أخرى ولكن هذه المرة باستخدام طريقة بناء المجموعة بالتعبير الرياضي على النحو التالي:

\(\}\)حيث \(x\) عدد صحيح ,\(A=\{x\,|\,x\ge 3 \)

وهذا يمكن قراءته كما يلي: "$A$ هي مجموعة من جميع قيّم \(x\), حيث \(x\) أكبر من أو يساوي 3 و\(x\) عدد صحيح". فاذا وصفنا مجموعة ما باستخدام هذه الطريقة فسيكون لدينا وصف واضح ودقيق للعناصر التي تنتمي للمجموعة المقصودة.

رياضيا يمكن كتابة أن العنصر \(x\) ينتمي الى المجموعة $A$ كما يلي

$$x\in A$$

كما يمكن كتابة أن العنصر \(x\) لا ينتمي الى المجموعة $A$ على النحو التالي:

$$x\notin A$$

بما أن $A$ تتكون من عدد صيح أكبر من أو يساوي 3 وفقا للمثال أعلاه فمن ثم يمكننا على سبيل المثال كتابة ما يلي:

$$4\in A$$

$$2\notin A$$

المجموعات الجزئية

عندما تكون جميع عناصر المجموعة $B$ موجودة أيضا في المجموعة $A$ فهذا يعني أن المجموعة $B$ هي عبارة عن مجموعة جزئية من المجموعة $A$. يمكننا كتابة أن المجموعة $B$ مجموعة فرعية للمجموعة $A$, على النحو التالي:

$$B\subseteq A$$

إذا كان على سبيل المثال لدينا المجموعتين $A$ و $B$ كما يلي:

$$A=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}$$

$$B=\{2,\,3\}$$

في هذه الحالة تحتوي المجموعة $B$ على العنصرين 2 و 3 وكلاهما موجودين في المجموعة $A$. ولذلك فان المجموعة $B$ هي مجموعة جزئية من المجموعة $A$.

ومع ذلك فالعكس ليس صحيحاً، أي أن المجموعة $A$ ليست جزئية من المجموعة $B$, لأن المجموعة $A$ تحتوي على العناصر 1, 4, 5 الغير موجودة في المجموعة $B$. رياضياً يمكننا كتابة أن المجموعة $A$ ليست جزئية من المجموعة $B$ على النحو التالي:

$$A\nsubseteq B$$

إذا كانت المجموعة $B$ تحتوي على جميع العناصر التي تنتمي الى المجموعة $A$ ولا تحتوي على أي عناصر أخرى فمن ثم يمكننا كتابتها بالطريقة التالية:

$$A=B$$

من التعريف السابق للمجموعة الجزئية نعلم أنه إذا كانت $A=B$ فإن المجموعة $A$ مجموعة جزئية من المجموعة $B$ كما أن المجموعة $B$ أيضا عبارة عن مجموعة جزئية من المجموعة $A$.

إذا كانت المجموعة $B$ مجموعة جزئية من المجموعة $A$ وكانت المجموعة $A$ تحتوي على عناصر أخرى غير موجود في المجموعة $B$ فإن المجموعة $B$ تُسمى بمجموعة جزئية حقيقية/أصلية من المجموعة $A$. ففي هذه الحالة ستكون المجموعة $B$ مجموعة جزئية من المجموعة $A$ ولكن المجموعة $A$ ليست مجموعة جزئية من المجموعة $B$. في المثال السابق حيث أن \((A=\{1, 2, 3, 4, 5\})\) و \((B=\{2, 3\})\)​; ففي هذه الحالة نقول أن المجموعة $B$ عبارة عن مجموعة جزئية حقيقية من المجموعة $A$ لأن $A$ تحتوي على ثلاث عناصر أخرى غير موجودة في المجموعة $B$.

يمكن كتابة أن $B$ مجموعة جزئية من $A$ على النحو التالي:

$$B\subset A$$

هناك مجموعة جزئية موجودة في جميع المجموعات - وهي المجموعة الخالية، أي المجموعة التي لا تحتوي على أي عناصر وتُكتب على النحو التالي:

$$\phi =\{\,\}$$

---

حدد جميع المجموعات الجزئية للمجموعة \(A = \{a, b, c\}\).

المجموعات الجزئية من المجموعة $A$ ستحتوي على مجموعة خالية (مجموعة لا تحتوي على أي عنصر), عنصر واحد, عنصرين أو ثلاثة عناصر من العناصر الموجودة في $A$.

المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من جميع المجموعات ولذلك فإن $\varnothing =\left\{\right\}$ هي مجموعة جزئية من المجموعة $A$. وهي عبارة عن مجموعة جزئية من المجموعة $A$ تحتوي على صفر من العناصر, أي لا تحتوي على أي عنصر.

أيضا المجموعة التي تحتوي على جميع الثلاثة عناصر الموجودة في $A$ هي عبارة عن مجموعة جزئية من المجموعة $A$, وهي $\left\{a, b, c\right\}$.

أيضا هناك ثلاث مجموعات يحتوي كل منها على عنصر واحد فقط من عناصر المجموعة $A$: $\left\{a\right\}$ و $\left\{b\right\}$ و$\left\{c\right\}$. كل مجموعة من هذه المجموعات الثلاثة تُمثل مجموعة جزئية من المجموعة $A$.

أخيرا لدينا مجموعات ثنائية وهي مجموعات تحتوي على عنصرين فقط من عناصر المجموعة $A$: $\left\{a,b\right\}$ و $\left\{a,c\right\}$ و $\left\{b,c\right\}$. وهي أيضا عبارة عن مجموعات جزئية من المجموعة $A$.

وبالتالي فإن جميع المجموعات الجزئية من المجموعة $A$ هي المجموعات التالية:

$$\phi,\,\{a\},\,\{b\},\,\{c\},\,\{a,\,b\},\,\{a,\,c\},\,\{b,\,c\},\,\{a,\,b,\,c\}$$

جميع هذه المجموعات ثُمثل مجموعات جزئية حقيقية من المجموعة $A$, ما عدا المجموعة $\left\{a, b, c\right\}$ فهي مجموعة جزئية من المجموعة $A$ ولكن ليست حقيقية.

---

الكاردينالية

كاردينالية المجموعة $A$ هي العدد الذي يصف عدد العناصر في المجموعة $A$. يُرمز إلى كاردينالية المجموعة $A$ بالرمز $\left|A\right|$.

إذا كان لدينا على سبيل المثال المجموعة \(A = \{1, 2, 5\}\), فهي مجموعة تحتوي على ثلاثة عناصر ومن ثم يمكننا كتابة كاردينالية المجموعة $A$ على النحو التالي:

$$\left | A \right |=3$$

يُسمى عدد عناصر المجموعة بكاردينالية المجموعة ويتم تحديد عدد العناصر في مجموعة معينة باستخدام الكاردينالية.

مجموعات أعداد مهمة

في الدورة رياضيات 1 قابلنا بالفعل عدد من أنواع الأعداد المختلفة. مجموعات الأعداد المختلفة هذه مهمة جدا في الرياضيات ولهذا تم تصنيفها برموز خاصة. لنتناول هنا هذه المجموعات من الأعداد المهمة ونرى كيف يمكن وصفها بناءً على ما تعلمناه أعلاه في هذا القسم.

الأعداد الطبيعية:

$$\mathbb{N}=\{0,\,1,\,2,\,3,\,...\}$$

الأعداد الصحيحة:

$$\mathbb{Z}=\{...,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,...\}$$

الكسور الاعتيادية (الأعداد النسبية):

$$\mathbb{Q}=\left \{ \frac{a}{b}\,|\,a,b \in \mathbb{Z}\,och\,b\neq 0 \right \}$$

وهي جميع الكسور في الصورة $\raisebox{1ex}{$a$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$b$}\right.$, حيث $a$ و $b$ عددين صحيحين، حيث $b$ لا يساوي صفر. ويمكن كتابة جميع الأعداد الصحية في صورة أعداد نسبية وذلك من خلال أن يكون المقام مساويا للعدد واحد.

الأعداد الحقيقية:

 جميع الأعداد النسبية وغير النسبية كــ \(\sqrt{2}\)و\(\pi\) على سبيل المثال \(\mathbb{R}=\)

الأعداد المركبة:

$$\mathbb{C}=\left \{ a+bi\,|\,a,\,b\in \mathbb{R} \right \}$$

وهي جميع الأعداد في الصورة \((a + bi)\), حيث أن $a$ و $b$ عددين حقيقيين. ويمكن كتابة جميع الأعداد الحقيقية كأعداد مركبة باعتبار أن الجزء التخيلي $b$ يساوي صفر.

بعد أن قدمنا الآن أسماء هذه المجموعات من الأعداد الشائعة يمكننا كتابة أن أي عدد معين \(x\) على سبيل المثال ينتمي إلى الأعداد الطبيعية على النحو التالي:

$$x \in \mathbb{N}$$

في بداية هذا القسم أخذنا مثال حيث كانت المجموعة $A$ تحتوي على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من أو تساوي 3. من خلال هذه الرموز التي قدمناها يمكننا وصف المجموعة باستخدام ما طريقة بناء المجموعات بالرموز الرياضية كما يلي:

$$A=\{x\,|\,x\ge 3\,, \,x\in \mathbb{Z}\}$$

مجموعات هذه الأعداد المهمة والتي تناولناها أعلاه في هذا القسم $\left(N, Z, Q, R, C\right)$ جميعها عبارة عن أمثلة على المجموعات اللانهائية لأن كل مجموعة من هذه المجموعات تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر.

نعلم أن جميع الأعداد الطبيعية هي عبارة عن أعداد صحيحة ايضا ولكن ليست جميع الأعداد الصحيحة أعداد طبيعية. وهذا يعني أن الأعداد الطبيعية $N$ هي مجموعة جزئية حقيقية من مجموعة الأعداد الصحيحة $Z$. ومع ذلك لا يعني هذا أن المجموعة $Z$ أكبر لأن كلاهما متساويتان في الحجم - وكبيرتان بشكل لا نهائي.

وبنفس الطريقة فان الأعداد الصحية $Z$ هي مجموعة جزئية حقيقية من الأعداد النسبية $Q$ والتي بدورها عبارة عن مجموعة جزئية حقيقية من الأعداد الحقيقية $R$ والتي بدورها عبارة عن مجموعة جزئية من الأعداد المركبة $C$. ويمكننا كتابة ذلك على النحو التالي:

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$$

من ناحية أخرى فإن مجموعات الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة $R$ و $C$ هي في الواقع أكبر من $N$ و $Z$ و $Q$ (على الرغم من أن كل هذه المجموعات لا نهائية) والتي تم اكتشافها منذ ما يزيد قليلاً عن الـــ 100 عام.

في القسم القادم سندرس كيف يمكننا تحديد جميع عناصر المجموعة $A$ أو $B$ أو جميع عناصر المجموعة $A$ ولكن ليست موجودة في $B$ باستخدام عمليات المجموعة.

---

فيديو الدرس باللغة السويدية