الاستقراء الرياضي

في قسمي المتتاليات والتكرارية السابقين تعرفنا على أنواع المتتاليات والصيّغ التي يمكن استخدامها لحساب مجموع المتتاليات.

ويمكن استخدام ما يُعرف بالاستقراء الرياضي لإثبات صحة مجموع قيّم عناصر المتتاليات. في هذا القسم سنمر على كيفية بناء وهيكلة الاستقراء الرياضي وكيف يمكن استخدام المنطق الاستقرائي لإثبات صحة نظريات الأعداد.

الاستقراء الرياضي

بدأنا الدورة رياضيات 4 بدراسة كيفية استخدام طُرق الإثبات في مجال الرياضيات.

والآن سنناقش أحد أنواع طُرق الإثبات وهو ما يُسمى بالاستقراء الرياضي وهو مفيد جدا لإثبات الادعاءات المتعلقة بالمتتاليات.

لكي يتم شرح كيفية عمل طريقة الاستقراء بصورة غير رسمية عادة ما يتم تشبيه الطريقة بقطع الضومنة المرصوصة أو الموضوعة في صف طويل. فإذا تم ترتيب قطع الضومنة بطريقة مُعينة وقمت بإسقاط القطعة الأولى فإن قطعة الضومنة الثانية ستسقط أيضًا ثم الثالثة والرابعة وهكذا. بغض النظر عن عدد القطع التي تم ترتيبها فإذا سقطت القطعة $\mathit{p}$ فمن ثم ستسقط القطعة التالية أيضا $(\mathit{p}\mathbf{+}\mathbf{1})$.

لتطبيق عملية الاستقراء الرياضي لإثبات صحة ادعاءٍ مَّا سنحتاج إلى مناقشة ثلاثة خطوات مهمة لكي نتمكن من الوصول إلى القرار الصحيح.

1. أساس/قاعدة الاستقراء: توضيح صحة الادعاء بالنسبة للحد الأول (يمكن مقارنة هذا بسقوط قطعة الضومنة الأولى).

2. فرضية الاستقراء. افتراض أن الادعاء ينطبق على أي قيمة من قيّم $n$. (يمكن مقارنة ذلك بافتراض سقوط قطعة ضومنة معينة من القطع المرصوصة).

3. خطوة الاستقراء. توضيح وإثبات صحة أن الادعاء الذي ينطبق على أي قيمة من قيّم $n$ فإنه سينطبق أيضا على القيمة التالية لـ $n$. (يمكن مقارنة هذا بتوضيح أن سقوط أي قطعة من الضومنة سيؤدي الى سقوط القطعة التالية أيضا).

فإذا نجحنا في تنفيذ هذه الخطوات الثلاث فهذا يعني أننا أثبتنا أن الادعاء صحيح بالنسبة لجميع الأعداد الأكبر من العدد الأول. إذا بحثنا الأعداد الصحيحة الموجبة على سبيل المثال ونجحنا في اثبات ادعاءٍ مَّا لأساس الاستقراء الرياضي $n=1$, وليكن هذا الادعاء ينطبق على عدد آخر $n=p$ ومن ثم أثبتنا أن الادعاء ينطبق أيضا على العدد الذي يليه $n=p+1$, فبالتالي يمكننا استنتاج أن الادعاء ينطبق على الحد الثاني $n=2$ وذلك لأنه ينطبق على العدد الأول $n=1$. وبما أن الادعاء ينطبق على العدد $n=2$ فهذا يعني أنه ينطبق أيضا على العدد $n=3$ وهكذا ينطبق على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n$.

---

مجموع $\mathit{n}$ من الأعداد الصحية الموجبة الأولى

الآن سنشرح مثال بسيط على الاستقراء الرياضي. والادعاء الذي نريد اثباته هو أن مجموع الـ $n$ من الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى

$$1+2+3+\,...\,+n$$

يمكن حسابه باستخدام التعبير التالي:

$$\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$

أي أن المساواة التالية تنطبق على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n\ge 1$:

$$1+2+3+\,...\,+n=\frac{n\cdot (n+1)}{2}$$

سنبدأ بإثبات صحة الادعاء بالنسبة لأساس الاستقراء الرياضي, أي عندما يكون $n=1$. وذلك من خلال اثبات أن الطرف الأيسر $\left(VL\right)$ في المساواة أعلاه له نفس قيمة الطرف الأيمن $\left(HL\right)$.

عندما يكون $n=1$ سنحصل على:

$$VL:\,\,1$$

$$HL:\,\,\frac{1\cdot (1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1$$

بما أن الطرف الأيسر $\left(VL\right)$ يساوي الطرف الأيمن $\left(HL\right)$ فهذا يعني أن الادعاء ينطبق على أساس الاستقراء $n=1$. وبهذا نكون قد أثبتنا الجزء الأول من عملية الاثبات بالاستقراء الرياضي.

الجزء الثاني من عملية الاثبات بالاستقراء هي افتراض أن الادعاء ينطبق على أي عدد صحيح موجب وليكن $n=p$, أي اثبات صحة أن $V{L}_p=H{L}_p$.

أي بافتراض صحة المساواة التالية:

$$1+2+3+\,...\,+p=\frac{p\cdot (p+1)}{2}$$

الجزء الثالث من الاثبات بالاستقراء الرياضي هو بما أن الادعاء ينطبق على أي عدد من الاعداد الصحيحة الموجبة $n=p$ فيجب اثبات صحة الادعاء للعدد الذي يليه, أي عند $n=p+1$ وهذا ما سنبحثه الآن.

سيكون الطرف الأيسر $\left(V{L}_{p+1}\right)$

$$1+2+3+\,...\,+p+(p+1)$$

أي أن

$${VL}_{p+1}={VL}_{p}+(p+1)$$

أما الطرف الأيمن $\left(H{L}_{p+1}\right)$ فسيكون

$$\frac{(p+1)\cdot ((p+1)+1)}{2}$$

فإذا استطعنا إعادة كتابة هذ التعبير ليصبح كما يلي

$${HL}_{p+1}={HL}_{p}+(p+1)$$

فهذا يعني اننا قد أثبتنا صحة المساواة $V{L}_{p+1}=H{L}_{p+1}$ في حالة صحة أن $V{L}_p=H{L}_p$.

فيما يلي سنعيد كتابة التعبير في الطرف الأيمن $H{L}_{p+1}$_:

$$\frac{(p+1)\cdot ((p+1)+1)}{2}=$$

$$=\frac{(p+1)\cdot (p+1)+(p+1)\cdot 1}{2}=$$

$$=\frac{p\cdot (p+1)+1\cdot (p+1)+(p+1)}{2}=$$

$$=\frac{p\cdot (p+1)+2\cdot (p+1)}{2}=$$

$$=\frac{p\cdot (p+1)}{2}+\frac{2\cdot (p+1)}{2}=$$

$$=\frac{p\cdot (p+1)}{2}+(p+1)$$

الآن وصلنا إلى الصيغة المطلوبة لإعادة كتابة هذا التعبير بالضبط, ما يعني أن المساواة التالية صحيحة:

$${HL}_{p+1}={HL}_{p}+(p+1)$$

بالتالي فإن

$${VL}_{p+1}={HL}_{p+1}$$

في حالة

$${VL}_{p}={HL}_{p}$$

وبهذا نكون قد انتهينا من الخطوة الثالثة من عملية البرهان بالاستقراء الرياضي. حيث وصلنا الى أن الادعاء المطلوب اثباته ينطبق على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n=1$.

---

فيديو الدرس يالسويدية