المعادلات التفاضلية

في الدورة رياضيات 4 تعلمنا كيف يمكننا إيجاد مشتقات الدوال كما قابلنا أيضاً المعادلات التفاضلية.

في هذا الباب سنتعمق في كيفية حل بعض أنواع المعادلات التفاضلية الأكثر شيوعا. في البداية سنمر سريعا على تعريف المعادلة التفاضلية وماذا يعني إيجاد حل مثل هذا النوع من المعادلات، كما سنقدم رموز لايبنز- Leibniz للمشتقة.

المعادلات التفاضلية

عند دراسة الظواهر العلمية الطبيعية في مجال الفيزياء على سبيل المثال، عادة ما يتم استخدام ما يُسمى بالنماذج الرياضية. فغالبا ما تكون هذه النماذج الرياضية عبارة عن علاقة بين دوال مجهولة ومشتقاتها من درجات مختلفة. وهذ النوع من العلاقات يُسمى بالمعادلات التفاضلية. المعادلة التفاضلية هي معادلة لوصف العلاقات التي تحتوي على مشتقة دالة أو أكثر من مشتقة.

فيما يلي مثال على المعادلة التفاضلية

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

حيث أن معدل التغير $y\text{'}\left(x\right)$ يعتمد على حاصل ضرب قيمة الدالة $y\left(x\right)$ فـي ثابت تناسب معين $k$. هذه المعادلة التفاضلية يمكنها على سبيل المثال وصف معدل نمو البكتيريا في مزرعة بكتيريا $y\text{'}\left(x\right)$ بالنسبة لعدد البكتيريا الموجود في المزرعة $y\left(x\right)$.

المعادلة التفاضلية أعلاه تُسمى معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى، لأن أعلى مشتقة موجودة في المعادلة هي المشتقة الأولى $y\text{'}\left(x\right)$. أما إذا كانت المعادلة التفاضلية تحتوي على المشتقة الثانية $y\text{'}\text{'}\left(x\right)$ كمشتقة أعلى في المعادلة التفاضلية ففي هذه الحالة ستكون المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية وهكذا. بصورة عامة المشتقة الأعلى في المعادلة هي التي تحدد درجة المعادلة التفاضلية.

فيما يلي لدينا مثال لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى ومثال لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، حيث أن جميع الحدود في الطرف الأيسر:

$$y'-4y=0$$

$$y''+3y'+5y=0$$

رموز لايبنز- Leibniz

حتى الآن استخدمنا كل من $y\text{'}\left(x\right)$ للتعبير عن المشتقة الأولى و $y\text{'}\text{'}\left(x\right)$ للتعبير عن المشتقة الثانية للدالة $y=f\left(x\right)$ وهكذا المشتقات الثالثة, الرابعة والخ. هذا النوع من رموز التفاضل يُسمى برموز لاغرانج- Lagrange على اسم عالم الرياضيات الفرنسي كومت جوزيف لويس لاغرانج- Lagrange.

ومع ذلك في بعض الأحيان يتم استخدام رموز أخرى عندما نتعامل مع المعادلات التفاضلية، تُسمى برموز لايبنز- Leibniz على اسم الفليسوف وعالم الرياضيات الألماني Gottfried Wilhelm Leibniz. تتم كتابة المشتقة الأولى والثانية باستخدام رموز لاغرانج- Lagrange و لايبنز-Leibniz على النحو التالي:

$$y'(x)=\frac{dy}{dx}$$

$$y''(x)=\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$$

فيما يلي لدينا مثال لمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تمت كتابتها مرةً برموز لاغرانج- Lagrange ومرة أخرى برموز لايبنز-Leibniz:

$$y''+3y'+5y=0$$

$$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}+3\frac{dy}{dx}+5y=0$$

استخدام لايبنز- Leibniz يبدو أكثر تعقيدا من لاغرانج- Lagrange ولكنه لازال مفيد جدا في بعض العمليات الحسابية وهو شائع وينبغي أن نعتاد عليه.

حل المعادلات التفاضلية

حل المعادلة التفاضلية يعني ايجاد دالة أو أكثر من دالة تُحقق صحة المعادلة التفاضلية أي أن تجعل الطرفان متساويان (يقال أن الدالة تُحقق المعادلة التفاضلية).

حل المعادلة التفاضلية التالية على سبيل المثال:

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

يعني إيجاد دالة $y\left(x\right)$ بحيث تكون مشتقتها $y\text{'}\left(x\right)$ مساوية لـ $k·y\left(x\right)$. عادة ما تحتوي المعادلة التفاضلية على أكثر من حل وفي مثل هذه الحالات علينا إيجاد جميع حلول المعادلة التفاضلية.

المعادلة التفاضلية المكتوبة في الصورة التالية:

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

عادة ما يكون حلها في الصورة التالية:

$$y(x)=C\cdot {e}^{kx}$$

حيث $C$ و $k$ ثوابت.

يمكن إثبات أن هذا النوع من الدوال يُمثل حل للمعادلة التفاضلية باشتقاق الدالة ومن ثم تعويض الدالة ومشتقتها في المعادلة التفاضلية.

يمكننا اشتقاق هذه الدالة وفقا لقواعد اشتقاق الدوال الأُسية لنحصل على المشتقة الأولى التالية.

$$y'(x)=k\cdot C\cdot {e}^{kx}$$

وبتعويض $y\left(x\right)$ و $y\text{'}\left(x\right)$ في المعادلة التفاضلية سنحصل على

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

$$k\cdot C\cdot {e}^{kx}=k\cdot (C\cdot {e}^{kx})$$

وبما أن طرفي المعادلة التفاضلية متساويين فهذا يعني أن هذه الدالة تُحقق المعادلة التفاضلية.

كما ذكرنا سابقا عادة ما تحتوي المعادلة التفاضلية على أكثر من حل واحد. وفي المثال أعلاه يمكننا كتابة حلول المعادلة التفاضلية في الصورة التالية:

$$y(x)=C\cdot {e}^{kx}$$

تعبير هذه الدالة يحتوي على ثابت مجهول $C$ وبناءً على قيمة الثابة $C$ سنحصل على دوال مختلفة لـ $y\left(x\right)$. هذه الدوال الناتجة ستكون جميعها حلول للمعادلة التفاضلية. الدوال التالية على سبيل المثال تختلف عن بعضها البعض بقيمة الثابت $C$ فقط وكلاهما يُمثلان حل للمعادلة التفاضلية المُراد حلها:

$$y(x)=2\cdot {e}^{kx}$$

$$y(x)=-5\cdot {e}^{kx}$$

---

ڤيديو الدرس بالسويدية