الدالة الأولية كحل

في القسم السابق كررنا تعريف المعادلة التفاضلية وأن حل أي معادلة تفاضلية هو عبارة عن دالة، كما كررنا كيف يمكننا التحقق من أن الدالة المعطية تُمثل حل لمعادلة.

في هذا القسم سنرى كيف يمكننا في بعض الأحيان حل المعادلة التفاضلية من خلال حساب الدوال الأولية.

الدوال الأولية

في الدورة رياضيات 3 تعرفنا على الدوال الأولية بالتزامن مع حساب التكاملات.

تكون الدالة $F\left(x\right)$ هي دالة أولية للدالة $f\left(x\right)$ إذا كان يمكننا الحصول على الدالة $f\left(x\right)$ باشتقاق $F\left(x\right)$:

$$F'(x)=f(x)$$

إذا كان لدينا على سبيل المثال دالة معروفة من الدرجة الثانية

$$f(x)=a{x}^{2}+bx+c$$

حيث أن $a$, $b$ و$c$ عبارة عن ثوابت لها قيّم اعتباطيّة، وباستخدام قواعد الحساب المعروفة يمكننا إيجاد الدالة الأولية $F\left(x\right)$:

$$F(x)=\frac{a{x}^{3}}{3}+\frac{b{x}^{2}}{2}+cx+d$$

كما رأينا أعلاه تمت إضافة الحد الثابت $d$ عندما قمنا بحساب الدالة الأولية $F\left(x\right)$. وذلك لأن تعبير الدالة الأولية الذي توصلنا إليه يُعَبر عن جميع الدوال الأولية للدالة $f\left(x\right)$.

بهذه الطريقة يمكننا حساب الدوال الأولية $F\left(x\right)$ للدالة المعروفة $f\left(x\right)$. هذا يعني أنه إذا علمنا على سبيل المثال التعبير الرياضي للمشتقة $y\text{'}\left(x\right)$ فغالبا ما يمكننا حساب $y\left(x\right)$. فيما يلي سنبحث كيفية استخدام هذا عند حل المعادلات التفاضلية.

الدالة الأولية كحل للمعادلات التفاضلية

كما ذكرنا سابقا فان المعادلة التفاضلية هي عبارة عن معادلة تحتوي على مشتقة أو عدة مشتقات لدالة معينة.

على سبيل المثال يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية في الصورة التالي:

$$s'(t)=1,2t+5$$

هذه المعادلة التفاضلية تحتوي على المشتقة الأولى فقط للدالة $s\left(t\right)$ في الطرف الأيسر، بالإضافة الى تعبير معروف في الطرف الأيمن. هذه المعادلة التفاضلية تصف على سبيل المثال كيفية اعتماد سرعة شيء ما على الزمن $t$ (عندما يكون الزمن صفر ثانية $\left(t=0\right)$ فإن السرعة هي $5$ م/ث، ومن ثم تزداد السرعة بعد مرور كل ثانية بمقدار $1,2$ م/ث).

عندما نقابل معادلات تفاضلية من هذا النوع فغالبا ما يمكننا حلها بحساب الدالة الأولية وذلك باستخدام قواعد الحساب المعروفة. يمكننا حل المعادلة التفاضلية أعلاه بحساب الدالة الأولية $s\left(t\right)$ لـ $s\text{'}\left(t\right)$ على النحو التالي:

$$s'(t)=1,2t+5$$

$$s(t)=\frac{1,2{t}^{2}}{2}+5t+C=0,6{t}^{2}+5t+C$$

كما نلاحظ فان الدالة الأولية $s\left(t\right)$ تحتوي على حد مجهول وهو الثابت $C$. وباستخدام هذا الحد الثابت $C$ يمكن استخدام $s\left(t\right)$ للتعبير عن جميع حلول المعادلة التفاضلية، وهذا ما يُسمى بالحل العام للمعادلة التفاضلية.

فإذا كانت $s\left(t\right)$ عبارة عن المسافة وتعتمد على الزمن $t$ فإن الحد الثابت $C$ هو المسافة عندما يكون الزمن $t$ صفرا. إذا افترضنا أن $C=0$، يمكننا حساب المسافة من نقطة البداية $C$ عندما يكون الزمن عشرة ثوان $t=10$.

$$s(t)=0,6{t}^{2}+5t$$

$$s(10)=0,6\cdot {10}^{2}+5\cdot 10=60+50=110\,m$$

بنفس الطريقة أعلاه يمكننا حساب الدالة $s\left(t\right)$ إذا علمنا على سبيل المثال تعبير المشتقة الثانية $s\text{'}\text{'}\left(t\right)$. وفي هذه الحالة فان المشتقة الأولى $s\text{'}\left(t\right)$ هي عبارة عن دالة أولية للدالة $s\text{'}\text{'}\left(t\right)$ والدالة $s\left(t\right)$ هي دالة أولية للدالة $s\text{'}\left(t\right)$. عندما نتعامل مع المسافات يمكن تفسير المشتقة الأولى $s\text{'}\left(t\right)$ بالسرعة

$$ v(t) = s'(t),$$

كما يمكن تفسير المشتقة الثانية $s\text{'}\text{'}\left(t\right)$ بالعجلة أو التسارع كما يقول البعض

$$a(t) = v’(t) = s’’(t).$$

استخدام الشروط

الحل الناجح للمعادلة التفاضلية يقود إلى إيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية بصورة نموذجية. لذلك غالبا ما يتم استخدام شروط إضافية وهي التي تحدد الحلول التي نبحث عنها بشكل دقيق.

في حالة الأجسام المتحركة ذات التسارع المعروف قد تتمثل الشروط الإضافية في معرفة السرعة و/أو المسافة عند زمن معين. ومن ثم يمكننا باستخدام هذه الشروط الحدية لتحديد قيّم الثوابت المُدرجة في تعبير الدالة المعروفة.

---

مثال: حِل المعادلة التفاضلية

$$y''=sin\,2x+cos\,2x$$

عندما تنطبق الشروط التالية:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

تتكون المعادلة التفاضلية من تعبير المشتقة الثانية $y\text{'}\text{'}\left(x\right)$ المعروف. لحل هذه المعادلة علينا ايجاد تعبير لـ $y\left(x\right)$. وذلك من خلال حساب الدالة الأولية للدالة $y\text{'}\text{'}\left(x\right)$ أولاً وهي $y\text{'}\left(x\right)$، ومن ثم نقوم في الخطوة التالية بحساب الدالة الأولية للدالة $y\text{'}\left(x\right)$ وهي $y\left(x\right)$.

الدوال الأولية لكل من الدالة $\left(f\left(x\right)=\sin 2x\right)$ والدالة $\left(g\left(x\right)=\cos 2x\right)$ معروفة وذلك لأننا قابلناها في الدورة رياضيات 4 عندما درسنا قواعد حساب التكاملات:

$$\begin{cases}f(x) & =sin\,2x\\F(x) & =-\frac{cos\,2x}{2}+C\end{cases}$$

و

$$\begin{cases}g(x) & =cos\,2x\\G(x) & =\frac{sin\,2x}{2}+C\end{cases}$$

لنحسب $y\text{'}\left(x\right)$ كدالة أولية للدالة $y\text{'}\text{'}\left(x\right)$:

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}+C$$

هذه هي جميع الدوال الأولية للدالة $y\text{'}\text{'}\left(x\right)$. بما أننا نعلم قيمة المشتقة الأولى عندما تكون $x=0$ يمكننا إيجاد قيمة الحد الثابت $C$ وبالتالي إيجاد الدالة الأولية للدالة $y\text{'}\text{'}\left(x\right)$ التي نبحث عنها:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y'(0)=-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{2}+\frac{sin\,(2\cdot 0)}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+\frac{0}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+C$$

ولذلك فان قيمة الحد الثابت $C$ تساوي صفر.

نواصل في العمليات الحسابية ونحسب $y\left(x\right)$ كدالة أولية للدالة $y\text{'}\left(x\right)$:

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}$$

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}+D$$

هذه هي جميع الدوال الأولية للدالة $y\text{'}\left(x\right)$، حيث أن الشرط الحدي الأول يجب أن ينطبق. ومع ذلك لا يزال علينا إيجاد الحد الثابت $D$. لإيجاد الحل المطلوب الذي نهتم به سنستخدم الشرط الحدي الثاني الذي يحدد قيمة الدالة عندما تكون $x=0$:

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

$$y(0)=-\frac{sin\,(2\cdot 0)}{4}-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{4}+D=$$

$$=-\frac{0}{4}-\frac{1}{4}+D=$$

$$=-\frac{1}{4}+D$$

أي أن قيمة الحد الثابت $D$ أيضا يجب ان تساوي صفرا.

وبهذا يكون قد تم إيجاد الحل الصحيح للمعادلة التفاضلية الذي نبحث عنه:

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}$$

---

ڤيديو الدرس بالسويدية