المعادلات التفاضلية المتجانسة

سابقا في هذا الباب كررنا تعريف المعادلة التفاضلية, ورأينا كيف يمكننا التحقق من أن دالة ما (الحل) تمثل حل لمعادلة تفاضلية مُعينة، كما رأينا أيضا كيف يمكننا إيجاد الحل من خلال حساب الدوال الأولية.

في هذا القسم سنتعرف على المعادلة التفاضلية الخطية المتجانسة، كما سنتعرف على شكل حلول المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة الأولى.

المعادلات التفاضلية المتجانسة من الدرجة الأولى

عندما كررنا المعادلة التفاضلية في القسم الأول من هذا الباب أخذنا مثال لمعدل النمو في مزرعة بكتيريا. إذا تم اعتبار أن معدل النمو في مزرعة البكتيريا يتناسب مع عدد البكتيريا فمن ثم يمكننا صياغة هذه العلاقة بالمعادلة التفاضلية التالية:

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

حيث أن معدل النمو $y\text{'}\left(x\right)$ يعتمد على عدد البكتيريا $y\left(x\right)$ مضروباً في ثابت التناسب $k$. قد يكون من السهل تفسير العلاقة التي تصفها هذه المعادلة التفاضلية عندما تكون المعادلة مكتوبة بهذه الطريقة.

ومع ذلك يمكننا إعادة كتابة حدود هذه المعادلة التفاضلية بحيث تكون حدودها في الطرف الأيسر كما في الصيغة التالية

$$y'(x)-k\cdot y(x)=0$$

نلاحظ أن الحدين الموجودين في الطرف الأيسر يحتويان إما على الدالة $y\left(x\right)$ أو مشتقة هذه الدالة $y\text{'}\left(x\right)$.

إذا تمكنا من كتابة معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى في الصيغة التالية

$$y'+a\cdot y=0$$

حيث أن $y$ هي دالة في متغيرٍ مّا و $y\text{'}$ هي مشتقتها الأولى و $a$ ثابت, فإن هذا النوع من المعادلات التفاضلية يُسمى بالمعادلة التفاضلية المتجانسة الخطية من الرتبة الأولى. تسمى هذه المعادلة التفاضلية بالمتجانسة لأنها تحتوي فقط على حدود تكون فيها الدالة $y$ أو أحد مشتقاتها. وتُسمى خطية لأنها تحتوي فقط على ثوابت كمعاملات (في هذه الحالة, المعامل 1 أمام $y\text{'}$ و $a$ أمام $y$).

المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة الأولى المكتوبة في الصيغة أعلاه عادة ما يكون حلها العام في الصيغة التالية

$$y=C\cdot{e}^{-ax}$$

حيث $C$ و $a$ ثوابت و $x$ المتغير المستقل.

---

اوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية

$$y'-8y=0$$

نلاحظ أن هذه المعادلة عبارة عن معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة الأولى ومكتوبة في الصيغة المطلوبة.

لذلك سيكون حلها العام هو

$$y=C\cdot {e}^{-(-8)x}=C\cdot {e}^{8x}$$

---

اوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية

$$3y'=-12y$$

ومن ثم الحل الذي يفي بالشرط الحدي $$ y (0) = 8 $$

الخطوة الأولى لحل هذه المعادلة هي إعادة كتابة المعادلة التفاضلية في الصيغة العامة

$$y'+a\cdot y=0$$

حيث $a$ ثابت.

لنضع حدود المعادلة في الطرف الأيسر، حيث يكون الطرف الأيمن صفرا:

$$3y'+12y=0$$

لكي تكون المعادلة التفاضلية في الصيغة المطلوبة ينبغي أن يكون معامل الحد $y\text{'}$ واحد صحيح. وذلك بقسمة أطراف المعادلة (جميع الحدود) علـى 3 لنحصل على المعادلة التفاضلية التالية

$$y'+4y=0$$

والحل العام لهذه المعادلة التفاضلية هو:

$$y=C\cdot {e}^{-4x}$$

وذلك لأن 4 هو معامل الحد $y$ في المعادلة التفاضلية وهي مكتوبة في هذه الصيغة. وهذا هو أيضا الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية ويمكننا التحقق من ذلك بنفس الطريقة التي أجريناها في قسم المعادلات التفاضلية الأول من هذا الباب.

بالإضافة إلى الحل العام نريد أيضا حل المعادلة التفاضلية الذي يُحقق الشرط الأولي $y\left(0\right)=8$. وهذا الحل يمكننا ايجاده بإدخال القيّم $x=0$ و $y=8$ في الحل العام ومن ثم تحديد قيمة الثابت $C$:

$$8=C\cdot {e}^{-4\cdot 0}=C\cdot {e}^{0}=C\cdot 1=C$$

$$C=8$$

بالتالي فإن الحل الذي يُحقق الشرط $y\left(0\right)=8$ هو

$$y=8{e}^{-4x}$$

---

ڤيديو الدرس بالسويدية