عمليات المجموعات

في القسم السابق تطرقنا الى مفهوم المجموعات وناقشنا كيف يمكننا وصف المجموعات نصياً، أو من خلال سرد عناصر المجموعة وكتابتها رياضياً، أو باستخدام طريقة البناء الرياضية باستخدام لغة الرياضيات. كما تعلمنا أيضا كيف يمكننا كتابة أن المجموعة $A$ هي مجموعة جزئية من المجموعة $B$.

في هذا القسم سنتعرف على عمليات المجموعات الأربع المهمة: الاتحاد، التقاطع، الفرق والمجموعة المُتمِمَة. يمكننا استخدام هذه العمليات الاربع في استنتاج مجموعات جديدة من المجموعات المُعطية. فيمكننا على سبيل المثال تحديد العناصر الموجودة في احدى المجموعتين $A$ أو $B$ على الأقل أو جميع العناصر الموجودة في المجموعة $A$ فقط وليست موجودة في $B$, أو ما شابه ذلك.

المجموعة الشاملة

عندما يكون لدينا مجموعات مختلفة فدائما ما تكون هذه المجموعات عبارة عن مجموعات جزئية من مجموعة شاملة حسب السياق. إذا كان لدينا مثلا المجموعة $A=\left\{-7, 0, 2, 5, 9\right\}$ فيمكننا رؤية هذه المجموعة كمجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة $Z$. وفي هذه الحالة $Z$ هي المجموعة الشاملة او المجموعة الأساسية التي تشمل جميع القيّم التي يمكن أن تحتوي عليها مجموعة من المجموعات في هذا السياق. عادة ما يُشار إلى المجموعة الشاملة بالحرف $U$.

في كثير من الأحيان يمكننا تحديد المجموعة الشاملة من السياق. إذا اردنا على سبيل المثال بحث مجموعات مختلفة تتكون من مجموعة الأعداد الصحيحة، فمن المعقول افتراض أن المجموعة الشاملة تتألف من جميع الاعداد الصحيحة، ولكن قد تتألف من مجموعة أخرى كمجموعة الأعداد الحقيقية $R$ مثلاً. فغالبا ما يكون من الجيد توضيح المجموعة الشاملة لنتجنب سوء الفهم.

من المفيد معرفة المجموعة الشاملة عند اجراء عملية المجموعة المُتَمِمَة والتي سنتعرف عليها فيما يلي.

عندما نبحث عمليات المجموعات في باقي هذا القسم سنفترض وجود مجموعة شاملة $U=\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}$, ومجموعتين $A=\left\{1, 2\right\}$ و $B=\left\{2, 3, 5\right\}$.

المجموعة المُتَمِمَة

مُتممة المجموعة $A$ هي عبارة عن مجموعة أخرى تحتوي على جميع العناصر التي لا تدخل في المجموعة $A$. وعادة ما نشير إلى المجموعة المُتممة للمجموعة $A$ بالرمز $A^C$^.

المجموعة المتممة للمجموعة $A$ تعتمد بشكل جزئي على عناصر المجموعة $A$ وبشكل جزئي على عناصر المجموعة الشاملة $U$.

إذا كان لدينا مجموعة $A$ ومجموعة شاملة صريحة $U$ فستكون مُتَمِمَة $A$​ كما يلي:

$${A}^{C}=\{x\,|\,x\in U\,و\,x\notin A\}$$

ولكن بافتراض أن $x$ موجودة في المجموعة الشاملة فمن ثم يمكننا أيضا كتابة

$${A}^{C}=\{x\,|\,x\notin A\}$$

إذا كان على سبيل المثال لدينا المجموعة $A=\left\{1, 2\right\}$ و كانت المجموعة الشاملة هي $U=\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5\right\}$, فستكون المجموعة المُتَمِمَة كما يلي

$${A}^{C}=\{0,\,3,\,4,\,5\}$$

وذلك لأن العناصر $0, 3, 4, 5$ موجودة في المجموعة الشاملة $U$ ولكن غير موجودة في المجموعة $A$.

الاتحاد

اتحاد المجموعتين $A$ و$B$ هو المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر الموجودة في $A$ أو $B$ أو كلاهما معاً. اتحاد المجموعتين $A$ و$B$ يمكن كتابته كما يلي:

$$A\cup B=\{x\,|\,x\in A\,أو\,x\in B\}$$

إذا كان على سبيل المثال لدينا المجموعة $A=\left\{1, 2\right\}$ والمجموعة $B=\left\{2, 3, 5\right\}$, فسيكون اتحاد المجموعتين $A$ و $B$

$$A\cup B=\{1,\,2\}\cup \{2,\,3,\,5\}=\{1,\,2,\,3,\,5\}$$

وذلك لأن العنصر 1 موجود في المجموعة $A$ فقط والعنصر 2 موجود في كلا المجموعتين $A$ و $B$ والعناصر 3 و5 موجوديّن في $B$ فقط.

بناء على تعريف كل من الاتحاد والمجموعة المتممة يمكن أن استخلاص أن اتحاد المجموعة $A$ ومُتَمِمَتها $A^C$ يُشكل المجموعة الشاملة $U$:

$$A\cup {A}^{C}=U$$

التقاطع

يتألف تقاطع المجموعتين $A$ و $B$ من مجموعة تحتوي على جميع العناصر الموجودة في $A$ و $B$ معاً. تقاطع $A$ و $B$ يمكن كتابته على النحو التالي:

$$A\cap B=\{x\,|\,x\in A\,و\,x\in B\}$$

إذا كان على سبيل المثال لدينا المجموعة $A=\left\{1, 2\right\}$ والمجموعة $B=\left\{2, 3, 5\right\}$, فسيكون تقاطع المجموعتين $A$ و $B$

$$A\cap B=\{1,\,{\color{Blue} 2}\}\cap \{{\color{Blue} 2},\,3,\,5\}=\{{\color{Blue} 2}\}$$

لان العنصر 2 هو العنصر الوحيد الموجود في كلا المجموعتين $A$ و $B$ (العناصر 1 و3 و5 موجودة إما في المجموعة $A$ فقط أو في المجموعة $B$ فقط وليس في كليهما).

تقاطع المجموعة $A$ مع المجموعة المُتممة لها $A^C$ هو عبارة عن مجموعة خالية, $\varphi$, وذلك لأن أي عنصر (تابع للمجموعة الشاملة) عادة ما يكون تابع لمجموعة ما أو للمجموعة المتممة لها ولكن لن يكون تابع لكلاهما اطلاقاً. بمعنى آخر فان أي مجموعة ومتممتها لا يحتويان على عناصر مشتركة.

الفرق

الفرق بين مجموعتين $A$ و $B$ هو عبارة عن مجموعة تحتوي على جميع العناصر الموجودة في $A$ وليست موجودة في $B$. وتتم كتابة الفرق بين $A$ و $B$ على النحو التالي:

$$A \setminus B=\{x\,|\,x\in A\,و\,x\notin B\}$$

إذا كان لدينا على سبيل المثال المجموعة $A=\left\{1, 2\right\}$ والمجموعة $B=\left\{2, 3, 5\right\}$, فسيكون الفرق بين المجموعتين $A$ و $B$ كما يلي:

$$A \setminus B=\{{\color{Blue} 1},\,{\color{Red} 2}\} \setminus \{{\color{Red} 2},\,3,\,5\}=\{{\color{Blue} 1}\}$$

وذلك لأن العنصر "1" موجود في المجموعة $A$ وليس موجودا في المجموعة $B$ (العنصر "2" موجود في كل من $A$ و $B$).

نلاحظ أن عملية الترتيب مهمة جدا في عملية الفرق بين المجموعتين، على عكس عمليتي الاتحاد والتقاطع فلا يهم ترتيب المجموعات. وبالتالي فان $\raisebox{1ex}{$A$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$B$}\right.$ ليست نفس $\raisebox{1ex}{$B$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$A$}\right.$. وهذا ما يمكن ادراكه بسهولة من هذا المثال، حيث أن

$$B \setminus A = \{{\color{Red} 2},\,{\color{Blue} 3},\,{\color{Blue} 5}\} \setminus \{1,\,{\color{Red} 2}\} = \{{\color{Blue} 3},\,{\color{Blue} 5}\}$$

في القسم القادم سنقدم لكم أشكال ڤن- Venn والذي يمكن استخدامه لتوضيح المجموعات والعمليات المختلفة على المجموعات.

---

فيديو الدرس باللغة السويدية