التطابق

عندما نستخدم ساعة تناظرية عادية سنلاحظ أن عقرب الساعات سيشير إلى نفس القيمة كل 12 ساعة, فإذا كان عقرب الساعات على سبيل المثال عند الرقم 3 (الساعة الثالثة صباحاَ أو ضهراً) فسنلاحظ أنه سيشير إلى الرقم 3 نفسه مرة أخرى بعد مرور 12 ساعة وهكذا كل مرور 12 ساعة.

يمكن تفسير ذلك بأن 3 + 12 ستعطي القيمة 3 نفسها عندما نحسب بعقرب الساعات ولكن نعلم أيضا أن حاصل جمع 3 و 12 يساوي 15, فكيف يمكننا تفسير هذا؟

القيمة 3 التي يشير إليها عقرب الساعات في هذا المثال هي في الواقع عبارة عن الباقي من حاصل قسمة مجموع 3 و 12 علـــــــى 12 وذلك لأن

$$\frac{3+12}{12}=\frac{15}{12}=1\text{ rest }3$$

وإذا قسمنا 3 علـــــــى 12 سيكون ناتج القسمة مختلف ولكن سنحصل على نفس الباقي:

$$\frac{3}{12}=0\text{ rest }3$$

التفكير بهذه الطريقة والاهتمام بالباقي في حالة قسمة الأعداد الصحيحة يسمى بحساب التطابق.

إذا كان ناتج قسمة كل من العددين الصحيحين $a$ و $b$ على عدد معين $n$ يعطي نفس الباقي فنقول أن العددان $a$ و $b$ متطابقان بقياس $n$.

ففي المثال أعلاه لدينا العددين 3 و15 متطابقان بقياس 12 وذلك لأن العددين لهما نفس الباقي (وهو 3) عند قسمتهما علـى العدد 12. إذا استمرينا في جمع 12 إلى 15 سنحصل على عدد آخر متطابق مع الأعداد 3 و15 بالقياس 12: الأعداد التالية الأقرب هي 27, 39, 51 وهكذا إلى ما لا نهاية.

عندما يكون العددان الصحيحان $a$ و $b$ متطابقان بالقياس $n$ يتم التعبير عن تطابقهما رياضياً على النحو التالي

$$a\equiv b \pmod{n}$$

وبالتالي يمكننا على سبيل المثال كتابة أن العددان 3 و15 متطابقان بالقياس 12 كما يلي:

$$3\equiv 15\,\pmod{12}$$

هنالك خاصية تتبع تعريف التطابق وهي أن الفرق بين العددان المتطابقان بالقياس $n$ قابل القسمة على العدد $n$. فمثلاً العددين 27 و3 متطابقين بالقياس 12 والفرق بينهما هو

$$27-3=24$$

وهو قابل القسمة على 12

الطريقة الأخرى للتعبير عن هذا هي أن الفرق بين العددان المتطابقان بالقياس $n$ هو عبارة عن مضاعفات العدد $n$. أي أنه يمكن كتابة هذا الفرق في صورة حاصل ضرب عدد من العوامل الصحيحة حيث أن العدد $n$ أحد هذه العوامل. على سبيل المثال نلاحظ أن الفرق 24 هو عبارة عن مضاعفات العدد 12, حيث يمكننا كتابة العدد 24 كحاصل ضرب العددين 2 و12:

$$24=2\cdot 12$$

فيما يلي يمكننا تأكيد تعريف آخر

يكون كل عددين صحيحين $a$ و $b$ متطابقين بقياس $n$ إذا كان الفرق بينهما $\left(a-b\right)$ عدد صحيحاً من مضاعفات $n$.

ميزة هذا التعريف على التعريف الأول هي أن مفهوم الباقي "rest" لم يتم تعريفه بشكل جيد للأعداد الصحيحة السالبة (فما هو باقي قسمة العدد $-4$ على العدد $7$ إن لم يكن كذلك؟). يتم تجنب هذه المشكلة مع التعريف الأخير حيث يمكن حساب الفرق للأعداد الصحيحة السالبة.

---

أوجد أربعة أعداد متطابقة بقياس 3.

هذه الأعداد الأربعة ستكون متطابقة بالقياس 3 إذا كان باقي قسمتها علـى العدد 3 متساوي. هناك ثلاثة بواقي مختلفة يمكننا الحصول عليها عند القسمة على 3 وهي إما 0 أو 1 أو 2.

يمكننا أولاً اختيار العدد 0 حيث أن باقي قسمة 0 علـى 3 يساوي 0.

في الخطوة التالية سنحاول إيجاد ثلاثة أعداد أُخرى لها الباقي 0 عند قسمتها على 3.

ويمكننا إيجاد هذه الأعداد بكل سهولة وذلك من خلال البداية بالصفر ومن ثم إضافة عدد من مضاعفات العدد 3. وبالتالي الثلاثة أعداد الأولى هي 3, 6 و9:

$$0+1\cdot 3=3$$

$$0+2\cdot 3=6$$

$$0+3\cdot 3=9$$

ولذلك فإن الأعداد 0, 3, 6 و9 متطابقة بالقياس 3 ويمكننا بكل سهولة التأكد من أن هذه الأعداد لها الباقي 0 عند قسمتها علـى 3.

هذه هي احدى الطُرق الممكنة لحل المهمة. حيث كان بإمكاننا اختيار أعداد أُخرى مطابقة للعدد 0 بالقياس 3 ( كالأعداد 12, 15, 18 وإلخ).

كما كان أيضا بإمكاننا أن نبدأ بالباقي 1 أو 2 وهذا ما كان سيعطينا الأعداد 1, 4, 7 و10 (في حالة الباقي 1) والأعداد 2, 5, 8 و11 (في حالة الباقي 2).

---

عبر عن الادعاءات وفقاً للتطابق التالي:

$$a\equiv b\,\pmod{n}$$

a) الفرق بين 34 و 6 هو من مضاعفات 7.

b) العددان 34 و 6 يعطيان نفس الباقي عند قسمتهما على 4.

كيف يمكننا تفسير نتائج a) و b) معا؟

الحل

a) الفرق بين العددين 34 و 6 هو من مضاعفات 7 يعني أننا يمكننا كتابة الفرق بينهما \(( 34-6 = 28 )\) كحاصل ضرب أحد عوامله 7 كما يلي: $$28=4\cdot 7$$ فهذا يعني ان الفرق بينهما وهو 28 يقبل القسمة على 7. لذلك فإن الباقي عند قسمة الــ 34 و6 علــى الــ 7 هو نفسه (الباقي في كلا الحالتين يساوي 6). ولهذا فان العددان 34 و6 متطابقان بالقياس 7 وهذا ما يمكن كتابته كما يلي $$34\equiv 6\, \pmod{7}$$

b) أما أن العددين 34 و6 يعطيان نفس الباقي عند قسمتهما على 4 (يكون الباقي في كلا الحالتين 2) فهذا يعني أن العددين 34 و6 متطابقين بالقياس 4. وهذا ما يمكننا كتابته على النحو التالي: $$34\equiv 6\,\pmod{4}$$

من النقطتين a) و b) وصلنا إلى أن العددين 34 و6 متطابقين بالقياس 7 والقياس 4. كيف يمكننا توضيح ذلك؟

نعم هذا في الواقع يعني أن الفرق بين العددين 34 و6, أي العدد 28 يقبل القسمة على كل من العدد 7 والعدد 4.

---

هل هنالك عدد $n$ آخر غير الـ 7 والـ 4 بحيث يكون العددين 34 و 6 متطابقين بالقياس $n$؟

في القسم القادم سنلقي نظرة قريبة على بعض قواعد حساب التطابق. ومن ثم سنلاحظ أن عملية حساب التطابق يمكنها تبسيط الحسابات في مواقف معينة.

---

فيديو الدرس بالسويدية