المُتواليات

في هذا الباب سندرس المُتتاليات, كما سنتعلم أيضا كيف يمكننا إثبات الادعاءات المتعلقة بالمتتاليات ومجاميعها باستخدام ما يُسمى بالاستقراء الرياضي.

في هذا القسم سنبدأ بتكرار كيفية عمل المتتاليات وكيف يمكننا وصف أنواع معينة من المتتاليات. في القسم القادم سنتعلم المزيد عن التكرار وهو عبارة عن طريقة مُميّزة لحساب الأعداد في المتتاليات بناء على أعداد معروفة ومُعطية.

المُتتاليات

في الدورة رياضيات 1 قابلنا نوعين من المُتتاليات: المتتاليات العددية والمُتتاليات الهندسة.

بصورة عامة المتتالية هي عبارة عن تسلسل نمطي لمجموعة من الأعداد وبترتيب معين وتسمى أعداد المتتالية بعناصر المتتالية.

فيما يلي لدينا مثالين على المتتاليات, المثال الأول متتالية حسابية والمثال الثاني متتالية هندسية:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

و

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

في المثالين أعلاه هناك نمط يتيح لنا إمكانية حساب قيّم عناصر المتتالية ولكن هناك متتاليات ليس لها نمط. إذا كانت قيّم عناصر المتتالية تتبع نمط معين ونعلم هذا النمط عندئذٍ يمكننا حساب قيّم عناصر المتتالية باستخدام صيغة هذا النمط.

المتتاليتين أعلاه لهما خاصية أُخرى وهي أنهما عبارة متتاليات غير منتهية, ما يعني أن هناك عدد لا نهائي من العناصر في المتتالية. هذا النوع من المتتالات يتم تمييزه بثلاثة نقاط على يمين المتتالية دلالة على أن باقي العناصر في المتتالية تتبع نفس النمط الذي تتبعه العناصر التي تمت كتابتها. هناك متتاليات منتهية ولها عدد محدود من العناصر. مثال على المتتالية المنتهية هو الأعداد $1, 2, 3$ وهي عبارة عن متتالية تتكون من هذه العناصر الثلاثة فقط.

هنالك فرق بين المتتاليات والمجموعات وهو أن المتتالية هي عبارة عن أعداد متتالية لها نمط وترتيب على عكس المجموعات التي ليس لها نمط ولا يهم ترتيبها. فمثلاً المتتالية $1, 2, 3$ والمتتالية $3, 2, 1$ هما متتاليتين مختلفتين تماماً, بينما المجموعتين $\left\{1, 2, 3\right\}$ و $\left\{3, 2, 1\right\}$ فهما مجموعتان متطابقتان.

إذا أردنا تحديد عنصر معين في متتاليةٍ مّا يمكننا استخدام رقم ترتيب العنصر-$index$, الذي يشير إلى مكان العنصر في المتتالية. حيث أن العنصر الأول في المتتالية هو الحد الأول $(index=1)$ والعنصر الثاني هو الحد الثاني $(index=2)$ وهكذا الخ, ما يعني أن العنصر $n$ هو الحد النوني $(index=n)$. يمكن أن يكون لدينا على سبيل المثال المتتالية اللانهائية التالية

$${a}_{1},\,{a}_{2},\,{a}_{3},\,{a}_{4},\,...$$

حيث أن $a_n$ يوضح العنصر رقم $n$ في المتتالية. في بعض الأحيان يمكننا أن نبدأ حساب الحدود من الصفر, أي $a_0$, $a_1$, $a_2$, وهكذا الخ.

المتتاليات الحسابية ومجموعها

في بداية هذا القسم كان لدينا المتتالية التالية:

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

هذا النوع من المتتاليات يُسمى بالمتتاليات الحسابية (البعض يُسميها العددية) كما درسنا سابقا في دورة الرياضيات 1.

الفرق-$d$ بين أي عدد والعدد الذي يسبقه عبارة عن قيمة ثابتة في جميع المتتاليات الحسابية.

مثلاً في المتتالية أعلاه نلاحظ أن الفرق بين العنصر الثاني $\left(5\right)$ والعنصر الأول $\left(3\right)$ هو $2$ وبين العنصر الثالث $\left(7\right)$ والعنصر الثاني $\left(5\right)$ هو $2$ وهكذا إلخ. يمكننا تعريف ذلك بأن المسافة بين العناصر المتجاورة في المتتالية الحسابية هي عبارة عن قيمة ثابته.

بصورة عامة يمكن كتابة هذه المسافة كما يلي:

$${a}_{n}-{a}_{n-1}=d$$

حيث $n>1$

بالتالي فان أي متتالية حسابية لا نهائية ستتبع النمط التالي:

$${a}_{1},\,{a}_{1}+d,\,{a}_{1}+2d,\,{a}_{1}+3d,\,...$$

ويمكن حساب قيمة العنصر $n$ باستخدام الصيغة التالية

$${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$

فإذا أردنا حساب مجموع الـ $n$ عنصر الأول في متتالية حسابية (ما يُسمى بالمجموع الحسابي) فيمكننا استخدام الصيغة التالية:

$${s}_{n}=\frac{n\cdot ({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$$

حيث أن $s_n$ هو مجموع الـ $n$ عنصر الأولى في المتتالية الحسابية و $a_1$ هو العنصر الأول في المتتالية الحسابية و $a_n$ هو العنصر رقم $n$ في المتتالية الحسابية (العنصر النوني).

لاحقا في هذا الباب سنشرح كيف يمكننا اثبات صحة صيغة مجموع المتتالية الحسابية باستخدام ما يُعرف باالاستقراء الرياضي.

$$1,\,2,\,3,\,...\,,\,n$$

---

احسب قيمة العنصر المائة ومجموع المائة عنصر الأولى في المتتالية

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

كما أوضحنا سابقا هذه متتالية حسابية حيث أن الفرق-$d$ بين قيمة العنصر $a_n$ وقيمة العنصر السابق له $a_{n-1}$ يساوي $2$.

بالتالي يمكننا حساب قيمة العنصر المائة, $a_{100}$, على النحو التالي:

$$ {a}_{100}={a}_{1}+(100-1)\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+99\cdot 2=$$

$$={a}_{1}+198=$$

$$= 3 + 198 = 201$$

إذن قيمة العنصر المائة في المتتالية هي $201$.

يمكن حساب مجموع المائة عنصر الأولى في المتتالية باستخدام الصيغة الخاصة بالمجموع الحسابي, حيث $n = 100$. بما أننا نعلم قيمة العنصر المائة $a_{100}$ فيمكننا حساب هذا المجموع بكل سهولة:

$$ {s}_{100}=\frac{100\cdot ({a}_{1}+{a}_{100})}{2}=$$

$$=\frac{100\cdot (3+201)}{2}=$$

$$=\frac{100\cdot 204}{2}=$$

$$=100\cdot 102=10\,200$$

إذن مجموع المائة عنصر الأولى في المتتالية يساوي $10200$.

---

المتتاليات الهندسية ومجموعها

كان المثال الثاني للمتتالية الذي قابلناه في بداية هذا القسم على النحو التالي:

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

فهذه عبارة عن متتالية هندسية وهي أيضا من أنواع المتتاليات التي قابلناها سابقا في دورة الرياضيات 1.

ناتج القسمة-$k$ بين أي عدد والعدد السابق له عبارة عن قيمة ثابتة في جميع المتتاليات الهندسية.

في المتتالية أعلاه على سبيل المثال نلاحظ أن ناتج القسمة-$k$ بين العنصر الثاني $(-3)$ والعنصر الأول $\left(9\right)$ هو $\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.$ وناتج القسمة بين العنصر الثالث $\left(1\right)$ والعنصر الثاني $(-3)$ هو أيضاً $\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.$ وهكذا الخ. يمكننا تعريف ذلك بأن العلاقة بين العناصر المتجاورة في المتتالية الهندسية هي عبارة عن قيمة ثابته.

بصورة عامة يمكننا كتابة هذه العلاقة كما يلي:

$$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=k$$

حيث $n>1$.

بالتالي أي متتالية هندسية لا نهائية ستتبع النمط التالي:

$${a}_{1}\cdot {k}^{0},\,{a}_{1}\cdot {k}^{1},\,{a}_{1}\cdot {k}^{2},\,...$$

ويمكننا حساب قيمة الحد النوني, وهو العنصر رقم $n$ في المتتالية الهندسية باستخدام الصيغة التالية:

$${a}_{n}={a}_{1}\cdot {k}^{n-1}$$

أما إذا أردنا حساب مجموع الـ $n$ عنصر الأولى في متتالية هندسية (المجموع الهندسي) فيمكننا استخدام الصيغة التالية:

$${s}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot \left ( {k}^{n}-1 \right )}{k-1}$$

حيث أن $s_n$ هو مجموع الـ $n$ عنصر الأولى في المتتالية, و $a_1$ هو العنصر الأول في المتتالية الهندسية و $k$ هو ناتج القسمة بين أي عنصر والعنصر السابق له في المتتالية.

أحد استخدامات المتتاليات الهندسية هي حساب معدل الزيادة في رأس المال عندما يكون لديك معدل فوائد معين. نسبة الفوائد المالية هي التي تُحدد قيمة العدد-$k$ وفقا للصيغة أعلاه. هناك أيضًا العديد من الظواهر الأخرى التي يمكن وصفها باستخدام المتتاليات الهندسية.

رمز المجموع

للتعبير عن مجموع عدد كبير من الحدود عادة ما يتم استخدام رمز المجموع (حرف سيقما الكبير وهومن الأبجدية اليونانية). وباستخدام هذا الرمز يمكننا التعبير عن مجموع عدد كبير من الحدود بصورة مُختصرة.

على سبيل المثال يمكننا كتابة المجموع التالي باستخدام رمز المجموع:

$$1+2+3+\,...\,+n$$

وباستخدام رمز المجموع سنحصل على التعبير التالي:

$$\sum_{m=1}^{n}m$$

ويمكن تفسير هذا المجموع بمجموع جميع الحدود $m$ حيث أن المتغير $m$ يأخذ القيّم من $1$ إلى $n$, أي من القيمة $1$ المكتوبة تحت رمز المجموع إلى القيمة $n$ المكتوبة فوق رمز المجموع.

كما يمكننا أيضا كتابة المجموع الهندسي التالي باستخدام رمز المجموع, مع ملاحظة أن هذه الحالة تتضمن عدد لا نهائي من الحدود التي يجب جمعها:

$$1+2+4+8+16+\,...$$

وفي هذه الحالة نلاحظ أيضا أن ناتج القسمة بين قيمة أي حد والحد الذي يسبقه عبارة عن قيمة ثابتة وتساوي $2$.

بالتالي يمكننا الحصول على التعبير التالي باستخدام رمز المجموع:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}$$

وهذا يمكن تفسيره بمجموع جميع الأعداد $2^m$ حيث أن المتغير $m$ يأخذ القيّم من $0$ إلى ما لا نهاية.

وفي هذه الحالة سنحصل على المجموع التالي:

$$\sum_{m=0}^{\infty }{2}^{m}={2}^{0}+{2}^{1}+{2}^{2}+{2}^{3}+\,...=1+2+4+8+\,...$$

---

فيديو الدرس بالسويدية