التباديل

في القسم السابق تعرفنا على مبدأ الضرب والذي يمكننا استخدامه لعملية حساب عدد الطرق الممكنة لاختيارات مختلفة من بين مجموعات مختلفة.

في هذا القسم سنشرح مفهوم التباديل والمواقف التي يقع فيها مفهوم التباديل. كما سنتعلم كيف يمكننا حساب التباديل. في القسم القادم أيضاً سنستفيد من عملية حساب التباديل في عملية حساب التوافيق.

التباديل

تخيل أن هناك ثلاثة كُتُب مختلة على رف في مكتبة. كم عدد الطُرق المختلفة التي يمكننا بها ترتيب هذه الكتب جنبا إلى جنب على الرف؟

يمكننا التفكير كما يلي: سيكون هناك كتاب في أقصى اليسار, كتاب في المنتصف وكتاب في أقصى اليمين. فإذا بدأنا باختيار الكتاب الذي سيكون في أقصى اليسار فسيكون لدينا ثلاثة كُتُب، "أي ثلاثة خيارات". بعد اختيار الكتاب الذي سيكون في أقصى اليسار سيتبقى لدينا كتابين؛ و أحد هاذين الكتابين سيكون في المنتصف، "أي أنه أصبح لدينا خيارين". بما أننا اخترنا الكتاب الذي سنضعه على اليسار والكتاب الذي سنضعه في المنتصف بالتالي سيتبقى لنا كتاب واحد فقط، "أي خيار واحد" وهذا الكتاب يجب وضعه يمين الكتابين الأولين.

وهذا يعني أننا في البداية سنختار عنصر من ثلاثة عناصر "واحد من ثلاثة" ثم نختار عنصر من عنصرين "واحد من اثنين" وفي النهاية نختار عنصر واحد من عنصر واحد "واحد من واحد". بالتالي هناك ستة طُرق ممكنة لترتيب هذه الكُتُب بجوار بعضها البعض، وهذا ما يمكن الوصول اليه باستخدام مبدأ الضرب.

$$3\cdot 2\cdot 1=6$$

فإذا رمزنا إلى الكتب بالحروف $a$, $b$ و$c$ فسيكون لدينا الطُرق التالية لترتيب الكتب من اليسار إلى اليمن:

\(\underline{abc}, \underline{acb}, \underline{bac}, \underline{bca}, \underline{cab}, \underline{cba}.\)

هذه الطُرق المختلفة لترتيب هذه الكتب تُسمى بتباديل الثلاثة عناصر من المجموعة $\{a, b, c\}$.

مضروب الـ n

في عمليات حساب التباديل عادة ما يقابلنا هذا النوع من عمليات الضرب

$$3 \cdot 2 \cdot 1$$

ولتسهيل العمليات الحسابية عادة ما نستخدم الرمز $3!$ بدلاً من \((3 \cdot 2 \cdot 1)\)

وهذا يعني نفس الشئ ويُقرأ "مضروب الـ $\mathbf{3}$". وبنفس الطريق سنجد أن $5!$ يساوي \((5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)\) وتُقرأ "مضروب الـ $\mathbf{5}$".

وبصورة عامة ينطبق مفهوم المضروب على جميع الأعداد الطبيعية حيث يمكن تعريف مضروب الـ $\mathit{n}$ "$\mathit{n}\mathbf{!}$" كما يلي

$$\begin{cases} n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \,...\, \cdot 3\cdot 2\cdot 1 & \text{, } n\geq 1 \\ 0!=1 & \text{, } n=0 \end{cases}$$

وهذا يعني أن $5!$ يساوي:

$$5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$$

ويمكننا ملاحظة أن مضروب الـ $\mathit{n}$ هو عبارة عن متتالية لها العناصر التالية

$$1,\,2,\,6,\,24,\,120,\,...$$

عندما يكون $n\ge 1$

كما نلاحظ أيضا أنه يمكننا حساب قيمة العنصر النوني (العنصر رقم $\mathit{n}$) في هذه المتتالية باستخدام الصيغة التكرارية. فإذا علمنا على سبيل المثال قيمة $4!$ فبالتالي يمكننا حساب قيمة $5!$ بكل سهولة، وإذا علمنا قيمة $3!$ يمكننا حساب قيمة $4!$ بكل سهولة وهكذا حتى نصل إلى قيمة مضروب الصفر $0!$ (ومن التعريف فان قيمة $0!$ تساوي $1$):

$$5!=5\cdot 4!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 0!=$$

$$=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=$$

$$=120$$

عدد التباديل

في المثال السابق تم حساب عدد الطُرق التي يمكننا استخدامها لإعادة ترتيب الكُتُب على الرف.

بصورة أكثر عمومية لحساب عدد الطُرق, حيث لدينا عدد $n$ من الكُتُب ونريد اختيار عدد $k$ من هذه الكُتُب وحساب عدد الطُرق الممكنة لذلك الاختيار مع مراعاة عملية ترتيب هذه الكُتُب.

فإذا كان على سبيل المثال لدينا خمس كُتُب على الرف ونريد اختيار كتابين من بين هذه الكُتُب. وفي هذه الحالة يمكننا اختيار الكتاب الأول بخمس طٌرق مختلفة. بعدها سيتبقى لنا $4$ كُتُب لاختيار الكتاب الثاني منها. إذن يمكننا إجراء هاذين الاختيارين بعدة طُرق وهي عدد التباديل عند اختيار عنصرين من بين $5$ عناصر والتي يمكننا التعبير عنها رياضيا كما يلي:

$$5\cdot 4=20$$

بصورة عامة عندما نختار $k$ عنصر من مجموعة تتكون من $n$ عنصر مع الأخذ في الاعتبار ترتيب العناصر المختارة (والذي عادة ما يُكتب $P(n, k)$) ففي هذه الحالة يمكننا حساب عدد الطُرق الممكنة  على النحو التالي:

$$P(n,\,k)=n\cdot (n-1)\cdot\,...\,\cdot (n-k+1)$$

حيث $0\le k\le n$.

وفيما يلي يمكننا تبسيط هذه التباديل إلى الصيغة التالية والتي يمكننا استخدامها لحساب عدد التباديل بكل سهولة عندما نعلم كل من $k$ و$n$:

$$P(n,\,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

حيث $0\le k\le n$.

فإذا أردنا على سبيل المثال حساب عدد الطُرق الممكنة لاختيار كتابين من بين $5$ كتب ونأخذ في الاعتبار ترتيب هذه الكتب, ففي هذه الحالة يمكننا حسابها كما يلي:

$$P(5,\,2)=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3!}{3!}=5\cdot 4=20$$

هناك حالات خاصة من المفيد معرفتها لعمليات حساب التباديل والتوافيق:

$$P(n,\,n)=n!$$

$$P(n,\,1)=n$$

$$P(n,\,0)=1$$

الحالة الخاصة الأولى هي $\left(P(n, n)=n!\right)$ وتنطبق على المثال الأول في هذا القسم, حيث بحثنا عدد الطُرق الممكنة لإعادة ترتيب $3$ كتُب (أي اختيار $3$ كُتُب من $3$ كُتُب) والتي وُجدت أنها $3!$.

يمكننا استنتاج الحالة الخاصة الأولى باستخدام الصيغة العامة للتباديل $P(n, k)$ وذلك بتعويض $k=n$:

$$P(n,\,n)=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n!$$

الحالة الخاصة الثانية هي $\left(P(n, 1)=n\right)$ وهي تعني اختيار عنصر واحد من بين $n$ عنصر. ومن الواضح أن هذا العنصر الواحد يمكن اختياره بـ $n$ طريقة مختلفة، ولكن يمكننا اثبات صحة هذه الحالة باستخدام الصيغة العامة $P(n, k)$ وذلك بتعويض $k=1$:

$$P(n,\,1)=\frac{n!}{(n-1)!}=\frac{n\cdot (n-1)!}{(n-1)!}=n$$

الحالة الخاصة الثالثة هي $\left(P(n, 0)=1\right)$ وهي ببساطة تعني أن هناك طريقة واحدة فقط لعدم اختيار أي عنصر من بين $n$ عنصر (وهي عدم اختيار أي عنصر). يمكننا أيضا استنتاج هذه الحالة باستخدام الصيغة العامة $P(n, k)$ وذلك بتعويض $k=0$:

$$P(n,\,0)=\frac{n!}{(n-0)!}=\frac{n!}{n!}=1$$

---

فَسّر ثم أحسب عدد التباديل التالية:

$$1.\,\, \underline{P(7, 3)}$$
يمكن تفسير عدد التباديل $P(7, 3)$ بعدد طُرق اختيار ثلاثة عناصر من بين $7$ عناصر.
ويمكننا حساب عدد التباديل على النحو التالي:
$$P(7,\,3)=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7!}{4!}=$$
$$=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!}{4!}=7\cdot 6\cdot 5=210$$
أي أن عدد الطُرق الممكنة (التباديل) لاختيار ثلاثة عناصر من بين $7$ عناصر هو $210$ طريقة.

$$2.\,\, \underline{​P(7, 7)}$$
يمكن تفسير التباديل $P(7, 7)$ بعدد طُرق اختيار $7$ عناصر من بين $7$ عناصر, أي السبعة عناصر جميعها.
ونلاحظ أن الحالة الأولى التي ناقشناها أعلاه تنطبق على هذه التباديل, ولذلك يمكننا حساب هذه التباديل كما يلي:
$$P(7,\,7)=7!=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5\,040$$
أي أن عدد الطُرق الممكنة (التباديل) لاختيار $7$ عناصر من بين $7$ عناصر هو $5040$ طريقة.

$$3.\,\,​ \underline{P(7, 1)}$$
يمكن تفسير التباديل $P(7, 1)$ بعدد طُرق اختيار عنصر واحد من بين $7$ عناصر.
وبما أن الحالة الثانية تنطبق على هذه التباديل فهذا يعني أن عدد الطُرق الممكنة يساوي عدد العناصر, أي $7$ طُرق:
$$P(7,\,1)=7$$
أما إذا أردنا حساب التباديل $P(7, 1)$ باستخدام الصيغة العامة فيمكننا حسابها كما يلي:
$$P(7,\,1)=\frac{7!}{(7-1)!}=\frac{7!}{6!}=\frac{7\cdot 6!}{6!}=7$$
أي أن عدد الطُرق الممكنة (التباديل) لاختيارعنصر واحد من بين $7$ عناصر هو $7$ طُرق.

$$4.\,\,​ \underline{P(7, 0)}$$
يمكن تفسير التباديل $P(7, 0)$ بعدد طُرق اختيار لا شئ (صفر) من بين 7عناصر. وبما أن الحالة الثالثة تنطبق على هذه التباديل فهذا يعني أن عدد الطُرق الممكنة هو طريقة واحدة فقط وذلك لأن اختيار صفر عنصر (عدم اختيار أي عنصر) يتم بطريقة واحدة فقط:
$$P(7,\,0)=1$$
أما إذا أردنا حساب التباديل $P(7, 0)$ باستخدام الصيغة العامة فيمكننا حسابها كما يلي:
$$P(7,\,0)=\frac{7!}{(7-0)!}=\frac{7!}{7!}=1$$
بالتالي فإن عدد الطُرق الممكنة (التباديل) لاختيار صفر عنصر من بين $7$ عناصر هو $1$ (طريقة واحدة​).

---

في القسم التالي سنتعرف على مفهوم التوافيق الذي له علاقة مباشرة بالتباديل, كما سنناقش كيف يمكننا حساب عدد التوافيق.

---

ڤيديو الدرس بالسويدية