الأعداد المُركبة

عندما درسنا حل معادلات الدرجة الثانية في الدورة رياضيات 2 كانت هي المرة الأولى التي قابلتنا فيها الأعداد المُركبة, حيث يمكن استخدام الأعداد المُركبة في التعبير عن الحلول الغير حقيقية لمعادلات الدرجة الثانية.

في هذا القسم سندرس المزيد عن الأعداد المركبة. نبدأ باستعراض الأساسيات ومن ثم نناقش كيفية حساب الأعداد المركبة وكيفية تمثيلها.

الأعداد التخيلية والمُركبة

إذا كان لدينا معادلة الدرجة الثانية التالية

$${x}^{2}+4=0$$

وحاولنا حلها سريعا ما نلاحظ أن المعادلة ليس لها حلول حقيقية. فإذا طرحنا 4 من طرفي المعادلة سنحصل على

$${x}^{2}+4{\color{Blue} \,-\,4}=0{\color{Blue} \,-\,4}$$

$${x}^{2}=-4$$

$$x=\pm\sqrt{-4}$$

هنا تظهر الأعداد المركبة في الصورة وذلك لأن جذور الاعداد السالب لا يمكن حسابها. وبالتالي يمكننا إدخال مفهوم الوحدة التخيلية $i$, وهي عبارة عن عدد تخيلي له الخصائص التالية:

$${i}^{2}=-1$$

باستخدام هذه الوحدة التخيلية يمكننا إعادة كتابة المعادلة أعلاه لنحصل على ما يلي:

$$x=\pm\sqrt{-4}$$

$$x=\pm\sqrt{4\cdot (-1)}$$

$$x=\pm\sqrt{{2}^{2}\cdot {i}^{2}}=\pm\sqrt{{(2i)}^2}=\pm2i$$

بالتالي فإن حل هذه المعادلة هو

$${x}_{1}=2i$$

$${x}_{2}=-2i$$

هذه الحلول عبارة عن أعداد تخيلية بحتة.

أما إذا كان لدينا مُعادلة تامة من الدرجة الثانية فعادةً ما نحصل عل حل/حلول تتألف من مجموع عددين, أحدهما عدد حقيقي والآخر عدد تخيلي.

---

إذا أردنا مثلاً حل معادلة الدرجة الثانية التالية

$${x}^{2}+2x+5=0$$

فسنحصل على الحلين التاليين

$${x}_{1}=-1+2i$$

$${x}_{2}=-1-2i$$

---

يتألف هذان الحلان من عدد حقيقي $(-1)$ وعدد تخيلي $(\pm 2i)$. هذان الحلان وحل المثال السابق عبارة عن أعداد مركبة لأنه يمكن كتابتهم كمجموع جزء حقيقي وجزء تخيلي. حل المثال السابق لا يحتوي على الجزء الحقيقي وهذا النوع من الأعداد المركبة يُسمى بالأعداد التخيلية البحتة.

الأعداد الحقيقية هي مجموعة فرعية من الأعداد المركبة وهذا يعني أن جميع الأعداد الحقيقية يمكن كتابتها في صورة أعداد مركبة وذلك من خلال إضافة العدد التخيلية $0i$ إلى العدد الحقيقي.

الأعداد المركبة في صيغة مستطيل

عندما نتعامل مع الأعداد المركبة عادة ما تتم كتابتها بالصيغة التالية:

$$z=a+bi$$

$z$ هو العدد المركب، $a$ و $b$ هما أعداد حقيقية و $i$ هو الوحدة التخيلية.

تُسمى هذه الطريقة لكتابة العدد المركب بصيغة المستطيل. في هذا الصيغة يُعرف $a$ بالجزء الحقيقي للعدد المُركب $z$ و $b$ هو الجزء التخيلي للعد $z$. حيث تُكتب هذه الأجزاء على النحو التالي $Re z=a$ و $Im z=b$.

هناك أيضًا طريقة أُخرى لتمثيل الأعداد المركبة وهذا ما سندرسه لاحقًا في هذا الباب.

---

فيديو الدرس (بالسويدية)

دالة من الدرجة الثانية لها نقاط إنعدام مُركبة.