عامل التغير
كررنا سابقا العلاقة بين النسبة والجزء والكل. كما لاحظنا أيضا أنه يمكننا استخدام هذه العلاقة لحساب مقدار تغير شيء ما، أي عند إرتفاع أو إنخفاض سعر سلعة ما على سبيل المثال.
في هذا القسم سنتعلم كيف يمكننا حساب عدد من التغيرات التي تحدث وراء بعضها البعض بالتتابع، وذلك عن طريق استخدام عوامل التغير.
عامل التغير
سابقا في عملية حساب السعر الجديد لسلعةٍ ما بعد التغير بالنسبة المئوية مثلاً، حسبنا أولا مقدار التغير بالكرونات ثم حسبنا السعر الجديد.
على سبيل المثال في القسم السابق عندما كان سعر التيشيرت الأصلي 120 كرونة، وجدنا أن سعره 84 كرونة بعد تخفيض السعر بنسبة %30. حيث كان التخفيض في السعر 36 كرونة.
أما إذا أردنا فقط السعر الجديد بعد التخفيض في السعر، فهناك طريقة أسهل لحسابه وتعطينا الإجابة المطلوبة مباشرة.
تخفيض السعر بنسبة %30 يعني أن السعر الجديد بعد التخفيض هو %70 من السعر قبل التخفيض. وهذا يعني أن السعر بعد التخفيض هو عبارة عن جزء نسبته %70 من الــ 120 كرونة (الكل).
لذا يمكننا حساب السعر الجديد مباشرة على النحو التالي:
الجزء = النسبة \(\cdot\) الكل =
= \(120\cdot 70\,\%\) كرونة =
= \(120\cdot {\color{Blue} {0,7}}\) كرونة =
= \(120\cdot {\color{Blue} {0,1\cdot 7}}\) كرونة =
= \(12\cdot 7\) كرونة = 84 كرونة
ما قمنا به هنا هو أننا قمنا بضرب القيمة القديمة (120 كرونة) في العامل 0,7, ثم حصلنا على القيمة الجديدة (84 كرونة).
هذا العامل 0,7 الذي ضربنا فيه يسمى عامل التغير، لأنه هو الذي يحدد مقدار التغير من القيمة القديمة إلى القيمة الجديدة.
إذا اعتبرنا أن سعر التي شيرت بدلا من التخفيض ارتفع بنسبة %30 عن السعر البالغ 120 كرونة، فسيكون السعر الجديد %130 من السعر القديم. لذا سيكون عامل التغير 1,3 بدلا من ذلك، ويمكننا حساب السعر الجديد المرتفع على النحو التالي:
السعر الجديد = عامل التغير \(\cdot\) السعر القديم =
= \(120\cdot 1,3\) كرونة = 156 كرونة
إذن يصبح السعر الجديد 156 كرونة بعد زيادة السعر بنسبة %30 من الــ 120 كرونة.
كما رأينا يمكننا الحساب باستخدام عوامل التغير في كلا الحالتين، مواقف الإنخفاض ومواقف الزيادة.
احسب بعوامل التغير
أحد الميزات الكبيرة لاستخدام عوامل التغير هي اجراء الحسابات بصورة أسهل في الحالات التي فيها عِدة تغيرات متتالية.
الآن سندرس كيف يمكننا الاستفادة من عوامل التغير في مثل هذه المواقف.
تخفيضان في السعر
وجد أحد متاجر الملابس صعوبة في بيع تي شيرت معين والذي كان سعره الأول 120 كرونة. لذا قام المتجر بتخفيض السعر بنسبة %30 في المرة الأولى، ثم قام بتخفيضه مرة أخرى بنسبة %50 من السعر المخفض.
كم كان سعر التي شيرت بعد هاذين التخفيضين؟
الحل:
بعد تخفيض السعر الأول للتي شيرت، كان سعر التي شيرت %70 من السعر الأصلي.
ثم انخفض السعر مرة أخرى ليصبح السعر %50 من السعر المخفض بالفعل.
لذا عامل التغير الأول هو 0,7 وعامل التغير الثاني هو 0,5.
لذا يمكننا كتابة تعبير السعر النهائي للتي شيرت على النحو التالي:
\( 120\cdot 0,7\cdot 0,5\) كرونة
نحسب قيمة التعبير:
\( 120\cdot 0,7\cdot 0,5\) كرونة = \(84\cdot 0,5\) كرونة = 42 كرونة
إذا دققنا في هذه العملية الحسابية نلاحظ أن سعر التي شيرت أصبح 84 كرونة بعد التخفيض بنسبة %30. ثم انخفض السعر مرة أخرى بنسبة %50 وأصبح السعر النهائي للتي شيرت 42 كرونة.
زيادات الراتب
في عام 2011 كان أجر جوستاف 100 كرونة/ساعة. ارتفع أجره بنسبة %3 في عام 2012, ثم ارتفع مرة أخرى بنسبة %3 في عام 2013.
ما الأجر الذي يتقاضاه جوستاف في الساعة في عام 2013, بعد الزيادة الثانية؟
الحل
في البداية كان أجر جوستاف في الساعة 100 كرونة/ساعة.
زيادة الأجر بنسبة %3 تعادل عامل تغير 1,03, لذلك سيكون أجره الجديد %103 من الأجر الأصلي.
ثم زاد الأجر زيادة أخرى بنسبة %3, لذا سيكون عامل التغير أيضا 1,03.
نبدأ بحساب أجر جوستاف بعد الزيادة الأولى:
\(100\cdot 1,03\) كرونة = 103 كرونة
بعد الزيادة الثانية سيكون أجر جوستاف في الساعة كما يلي:
\(103\cdot 1,03\) كرونة = 106,09 كرونة
يمكننا أيضا حساب الأجر النهائي في الساعة بكتابة تعبير رياضي واحد وذلك بدمج هاتين العمليتين الحسابيتين:
\(100\cdot 1,03\cdot 1,03\) كرونة = 106,09 كرونة
سيكون النتاج هو نفسه، وبالتالي أجر جوستاف النهائي في الساعة هو 106,09 كرونة / الساعة.
فيديوهات الدرس (بالسويدية)
مفهوم عامل التغيّر.
كيفية اجراء الحسابات مع عوامل التغيّر.
عملية حساب التخفيضات المتتالية.