الاختصار و المضاعفة
في القسم السابق تدربنا على الكسور الاعتيادية و لاحظنا أنه يمكننا اعادة كتابة الكسر الاعتيادي بحيث يصبح له بسط و مقام مختلفين دون أن تتغير قيمته, على سبيل المثال عند كتابة الكسر الاعتيادي في أبسط صورة.
الآن سنواصل في كيفية إعادة كتابة الكسور الاعتيادية بحيث يكون للكسر الاعتيادي بسط و مقام مختلفين دون تغيير قيمته. وذلك باستخدام الاختصار و المضاعفة كما رأينا سابقا في الصف السابع.
في القسم القادم سنستعرض كيف يمكننا جمع و طرح الكسور الاعتيادية, عندها من المهم جدا اتقان عملية اختصار و مضاعفة الكسور الاعتيادية.
الاختصار
في قسم الكسور الاعتيادية وصلنا إلى أن
\(\frac{3}{4}=\frac{6}{8}\)
فقط في مثل هذه الحالات أن يكون من السهل إلى حد ما ملاحظة أن الكسرين متساوين (على سبيل المثال يمكن أن نفكر في كعكة أو تورته تم تقسيمها إلى 8 أو 4 قطع - سيكون حجم القطعة في الحالة الأولى نصف حجم القطعة في الحالة الثانية). علاوة على ذلك 3\4 هو كسر اعتيادي مكتوب في أبسط صورة - ولا يمكننا إعادة كتابة هذا الكسر الاعتيادي أبسط من ذلك.
ولكن أحيانا يمكن أن يكون لدينا كسر ليس من السهل إعادة كتابة بسطه و مقامه في أبسط صورة. وفيما يلي مثال علي الكسور المعقدة أكثر من ذلك بقليل
\(\frac{24}{42}\)
لذلك سنستخدم الاختصار لتبسيط هذا الكسر. الاختصار يعني أننا نقسم كلا من البسط و المقام علـى عدد صحيح معين، وهذا ما يقود الى كتابة الكسر الاعتيادي في ابسط صورة. إضافة الى ذلك يجب أن نقسم علـى عدد صحيح بحيث يكون البسط و المقام يقبلان القسمة عليه.
في المثال الأول أعلاه قسمنا على 2, لأن البسط (6) و المقام (8) يقبلان القسمة علـى 2:
\(\frac{3}{4}=\frac{\,\,\frac{6}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{8}{{\color{Red} 2}}}=\frac{6}{8}\)
بنفس الطريقة يمكننا اختصار الكسر الاعتيادي في المثال الثاني أعلاه، في هذه الحالة أيضا نلاحظ أن البسط و المقام يقبلان القسمة علـى 2:
\(\frac{12}{21}=\frac{\,\,\frac{24}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{42}{{\color{Red} 2}}}=\frac{24}{42}\)
الآن أصبح الكسر مكتوب في صورة أبسط مما كان، ولكن يمكننا تبسيطه أكثر من ذلك. البسط 12 يقبل القسمة علـى 2 أما المقام 21 لا يقبل، لذا لا يمكننا الاختصار بالقسمة علـى 2. ومع ذلك فإن كل من البسط و المقام يقبلان القسمة علـى 3, لذا يمكننا اختصار الكسر بالقسمة علـى 3:
\(\frac{4}{7}=\frac{\,\,\frac{12}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{21}{{\color{Red} 3}}}=\frac{12}{21}\)
الآن اختصرنا الكسر الأصلي مرتين، ولا يمكننا اختصاره أكثر من ذلك لأنه أصبح في أبسط صورة له:
\(\frac{4}{7}=\frac{24}{42}\)
فصل دراسي به 30 طالب, 18 منهم بنات.
استنتج كسر اعتيادي لتحديد نسبة البنات في الفصل الدراسي. ثم بَسّـط هذا الكسر الاعتيادي ليصبح في أبسط صورة له.
الحل:
من بين الــ 30 طالب يوجد حوالي 18 بنت، بالتالي يمكننا تحديد نسبة البنات بالكسر التالي:
\(\frac{18}{30}\)
يمكننا اختصار هذا الكسر الاعتيادي في عدة خطوات:
\(\frac{3}{5}=\frac{\,\,\frac{9}{{\color{Red} 3}}\,\,}{\frac{15}{{\color{Red} 3}}}=\frac{9}{15}=\frac{\,\,\frac{18}{{\color{Red} 2}}\,\,}{\frac{30}{{\color{Red} 2}}}=\frac{18}{30}\)
الآن الكسر الاعتيادي مكتوب في أبسط صورة له.
المضاعفة
كما رأينا أعلاه أن الاختصار هو طريقة لتبسيط الكسور الاعتيادية، ما يعني أن بسط و مقام الكسر يصبحان أصغر و لكن بدون تغيير قيمة الكسر. أحيانا قد نريد إعادة كتابة الكسر الاعتيادي بحيث يصبح بسطه و مقامه أكبر دون تغيير قيمة الكسر.
في مثل هذه الحالات نستخدم المضاعفة. لمضاعفة الكسر الاعتيادي نضرب كل من البسط و المقام في عدد صحيح معين.
نضاعف الكسر الاعتيادي التالي كي يساوي المقام 100
\(\frac{7}{20}\)
ما هو العدد الصحيح الذي سنضربه في المقام للحصول على حاصل ضرب يساوي 100؟
\(100=20\cdot \square\)
يجب أن يكون 5, ما يعني أنه يجب مضاعفة الكسر الأصلي بضرب البسط و المقام فـي العامل 5:
\(\frac{35}{100}=\frac{{\color{Blue} 5\,\cdot}\, 7}{{\color{Blue} 5\,\cdot}\, 20}=\frac{7}{20}\)
الآن ضاعفنا الكسر الاصلي و أصبح مقامه هو المقام المطلوب 100.
\(\frac{35}{100}=\frac{7}{20}\)