حَل المعادلات
درسنا في القسم السابق ما هي المعادلة وكيف يمكننا كتابة المعادلات. و بدأنا أيضا في دراسة كيف يمكننا حل المعادلات، ما معني إيجاد قيم المتغيرات التي تجعل طرفي المعادلة متساويين.
في هذا القسم سنتعلم المزيد عن طُرق حل المعادلات.
حَل المعادلة
كما رأينا في القسم السابق أن المعادلة هي طريقة لكتابة تعبيرين مساويين.
وفيما يلي مثال على معادلة ذات متغير واحد
\(5=x+3\)
التعبير على الطرف الأيمن من علامة يساوي يجب أن يكون مساويا للتعبير على الطرف الأيسر من علامة يساوي.
حل المعادلة يعني اجاد قيّم جميع المتغيرات في المعادلة لتكون التعبيرات في كلا الطرفين متساوية. في المثال أعلاه حل المعادلة هو
\(2=x\)
إذا عوضنا قيمة \(x\) في المعادلة و حسبنا قيمة الطرف الأيمن سنحصل على ما يلي:
\(5=2+3\)
\(5=5\)
إذن الحل صحيح لأن الطرف الأيمن مساويا للطرف الأيسر.
حَل المعادلات
عندما تكون المعادلة المراد حلها أكثر تعقيدا سنحتاج إلى إجراء بعض العمليات لتسهيل حل المعادلة. لذا سنمر على بعض أمثلة المعادلات الأكثر تعقيدا و كيف يمكننا حلها.
حِل المعادلة
\(11=2x+3\)
عندما نحاول حل هذه المعادلة نرى أن 3 زائد العدد (\(2x\)) يساوي 11 ما هو العدد الذي يساوي (\(2x\))؟ نعلم أن
\(11=8+3\)
إذن \(2x\) يجب أن تكون مساوية للعدد 8 لكي تصبح المعادلة صحيحة:
\(8=2x\)
الآن نلاحظ أن حاصل ضرب 2 في المتغير \(x\) مساو للعدد 8. ما هي قيمة \(x\) ؟ الحل الوحيد الممكن هو 4 لأن
\(8=4×2\)
إذن حَل هذه المعادلة هو
\(4=x\)
يمكننا التأكد من أن الحل صحيح أم لا. نعوض هذا الحل في المعادلة
\(11=2x+3\)
لنحصل على ما يلي:
\(11=2×4+3\)
\(11=8+3\)
\(11=11\)
إذن هذا الحل صحيح لأن الطرف الأيمن (11) مساويا للطرف الأيسر (11).
حِل المعادلة
\(12=4+\frac{x}{2}\)
هنا نعلم أن العدد \(\frac{x}{2}\) زائد 4 يساوي 12. ما هو العدد الذي يساوي \(\frac{x}{2}\) لكي تكون المعادلة صحيحة؟ العدد الوحيد الممكن هو 8 لأن
\(12=4+8\)
لهذا سنكتب:
\(8=\frac{x}{2}\)
الآن نلاحظ أن هنالك عدد ما نصفه يساوي 8. ما هو العدد الذي يمكن أن يكون مساويا لـ \(x\)؟
إذا فكرنا قليلا سندرك مباشرةً أن الإمكانية الوحيدة هي أن \(x\) مساويا لـ 16, لأن
\(8=\frac{16}{2}\)
لذا حل المعادلة هو:
\(16=x\)
يمكن أن نتأكد من أن الحل صحيح عن طريق تعويض القيمة 16 في المعادلة الأصلية بدلا من \(x\). المعادلة الأصلية هي:
\(12=4+\frac{x}{2}\)
إذا عوضنا قيمة \(x\) بــ 16 في هذه المعادلة سنحصل على ما يلي:
\(12=4+\frac{16}{2}\)
\(12=4+8\)
\(12=12\)
بما أن الطرف الأيمن من المعادلة مساويا للطرف الأيسر، إذن الحل صحيح.
اختبار حَل المعادلة
كما رأينا بالفعل يمكننا اختبار الحلول لمعرفة ما إذا كانت عملياتنا الحسابية صحيحة أم لا. نختبر حل المعادلة عن طريق إدخال القيمة التي توصلنا إليها بدلا من المتغير. الآن سننظر إلى بعض الأمثلة التي نختبر فيها حلول المعادلات.
جَرَّب إذا كان \(5=x\) حل للمعادلة
\(2=\frac{x+1}{3}\)
لاختبار حل المعادلة نضع 5 محل \(x\) في المعادلة. فمن ثم سنحصل على ما يلي:
\(2=\frac{5+1}{3}\)
\(2=\frac{6}{3}\)
\(2=2\)
بما أن قيمة التعبير على الطرف الأيمن في المعادلة مساوية لقيمة التعبير على الطرف الأيسر للمعادلة، هذا يُثبت أن الحل صحيح. إذن \(5 = x\) هي حل المعادلة.
جَرَّب إذا كان \(2 = x\) حل للمعادلة
\(4=(x-3)×2\)
بنفس الطريقة التي اتبعناها في المثال السابق نختبر الحل بوضع 2 محل \(x\) في المعادلة. لنحصل على ما يلي:
\(4=(2-3)×2\)
\(4=1×2\)
\(4=2\)
نلاحظ أنه إذا كانت \(2 = x\) هي حل المعادلة فيجب أن يكون 2 تساوي 4. ولكن نعلم أنه ليس كذلك. لذا \( 2= x\) لا يمكن ان تكون حل المعادلة.
بما أن الحل المقترح الذي اختبرناه غير مناسب يمكننا محاولة إيجاد حل حقيقي للمعادلة.
إذا نظرنا إلى المعادلة
\(4=(x-3)×2\)
نلاحظ أن حاصل ضرب 2 فـي العدد الموضوع بين قوسين يجب أن يكون مساويا للعدد 4.
إذن العدد بين القوسين يجب أن يكون مساويا لــ 2.
\(2=x-3\)
ما هو العدد \(x\) الذي إذا طرحناه من 3 يعطي 2؟ حسنا يبدو أن \(1 = x\) هو الحل الوحيد الممكن.
نختبر هذا الحل عن طريق إدخال 1 مكان \(x\) في المعادلة الأصلية:
\(4=(1-3)×2\)
\(4=2×2\)
\(4=4\)
إذن \(1 = x\) هو الحل الصحيح للمعادلة.