الأعداد الطبيعية و الأعداد العشرية
رأينا في السابق أشكالا مختلفة للأعداد, بما في ذلك الأعداد الطبيعية و الأعداد العشرية.
في هذا القسم سنكرر كيفية عمل الأعداد و الأعداد العشرية. سنري معني الأرقام المختلفة في الأعداد و الطرق المختلفة لكتابة الأعداد.
الأعداد الطبيعية
عندما نريد أن نكتب كم عدد أو كم كمية شيء ما, سنستخدم أعداد تتكون من الأرقام 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 و 9. سِواء بشكل منفصل أو معا يمكن أن تُشكل هذه الأرقام العشرة أعداداً مختلفة و بأي حجم. هذه الأعداد نسميها الأعداد الطبيعية. جميع الأعداد الطبيعية أعداد صحيحة.
يمكننا توضيح الأعداد الطبيعية على خط الأعداد كما يلي.
إذا كان لدينا عددان طبيعيان مختلفان, مثل 13 و 31, الرقمين 1 و 3 يعنيين شيئين مختلفين حسب موقعهما في العدد. في العدد 13 الرقم 3 بالطبع يعني أن العدد يحتوي على 3 كرقم آحاد (3), بينما يعني الرقم 3 في العدد 31 أن العدد يحتوي على 3 كرقم عشرات (30).
بالتالي يكون للرقم في العدد الطبيعي قيمة مختلفة بناء على موقع الرقم في العدد. يمكننا أن نكتب قيمة العدد كمجموع قيّم الأرقام في العدد.
العدد الصحيح 3792 يُمكن كتابته كمجموع قيّم الأرقام كما يلي
\(3\,792=2+90+700+3\,000\)
كتابة العدد بهذه الطريقة كمجموع قيّم أرقام تُسمي صورة متطورة. في بعض الأحيان يمكن أن يكون من الأسهل حساب الأعداد عندما نكتبها في صورة متطورة.
ما هي قيمة الرقم 7 في الأعداد التالية؟
1) 72
2) 137
3) 720
الحل:
1) الرقم 7 في العدد 72 يُمثل رقم العشرات. لذا رقم العشرات 7 له القيمة 70.
2) الرقم 7 في العدد 137 يُمثل رقم الآحاد. لذا رقم الأحاد 7 له القيمة 7.
3) الرقم 7 في العدد 720 يُمثل رقم المئات. لذا رقم المئات 7 له القيمة 700.
أكتب الأعداد التالية في صورة متطورة
1) 72
2) 137
3) 720
الحل:
1) يتألف العدد 72 من الرقمين 7 و 2, حيث أن رقم العشرات هو 7 و له القيمة 70 و رقم الآحاد هو 2 و له القيمة 2.
بالتالي العدد 72 يمكن كتابته في صورة متطور كما يلي
\(2+70\)
2) يتألف العدد 137 من الأرقام 1, 3 و 7, حيث أن رقم المئات هو 1 و له القيمة 100, رقم العشرات هو 3 و له القيمة 30 و رقم الآحاد هو 7 و له القيمة 7.
بالتالي العدد 137 يمكن كتابته في صورة متطور كما يلي
\(7+30+100\)
3) يتألف العدد 720 من الأرقام 7, 2 و 0, حيث أن رقم المئات هو 7 و له القيمة 700, رقم العشرات هو 2 و له القيمة 20 و رقم الآحاد هو 0 و له القيمة 0.
لا نحتاج إلى إضافة الأرقام التي قيمتها 0 عندما نكتب العدد في صورة متطورة. لذا العدد 720 يمكن كتابته في صورة متطورة كما يلي
\(20+700\)
الأعداد العشرية.
إذا نظرنا على خط الأعداد سنرى أن هناك فجوات بين الأعداد الطبيعية. إذا اخترنا عدد يقع في مكان ما بين عددين طبيعيين على خط الأعداد لا يمكن أن يكون عدد صحيح. علاوة علي ذلك يمكن أن يكون عدد عشري (كسر عشري).
إذا اخترنا على سبيل المثال, عدداً يقع بين العددين الطبيعيين 1 و 2 على خط الأعداد, ليكن هذا العدد هو العدد العشري 1,5.
يُقسم العدد العشري باستخدام الفاصلة العشرية إلى جزء صحيح و جزء عشري. يكون العدد الصحيح على يسار الفاصلة العشرية, و يكون العدد العشري على يمين الفاصلة العشرية. في العدد العشري 1,5, الرقم واحد هو عدد صحيح و الرقم 5 هو عدد عشري.
حتى في الأعداد العشرية تكون الأرقام ذات قيّم مختلفة بناءاً على موقعها في العدد. بالنسبة للأعداد العشرية يعمل موقع الأرقام الصحيحة بنفس طريقة عمله للأعداد الطبيعية. أرقام العدد العشري هي عبارة عن الجزء من العشرة, الجزء من المائة, الجزء من الألف و هكذا.
بنفس الطريقة مع الاعداد الطبيعية يمكننا أن نكتب العدد العشري في صورة متطورة كمجموع قيّم أرقامه.
يُكتب العدد العشري 37,92 كمجموع قيّم الأرقام على النحو التالي
\(37,92=0,02+0,9+7+30\)
ما قيمة الرقم 4 في الأعداد التالية؟
1) 12,94
2) 0,49
3) 546,1
الحل:
1) الرقم 4 في العدد 12,94 يُمتل رقم الجزء من المئات. إذن الرقم 4 في العدد له القيمة 0.04, وهو نفس الشئ أربعة من مائة.
2) الرقم 4 في العدد 0,49 يُمتل رقم الجزء من العشرة. إذن الرقم 4 في العدد 0,49 له القيمة 0,4, وهو نفس الشئ أربعة من عشرة.
3) الرقم 4 في العدد 546,1 يُمتل رقم العشرات. إذن الرقم 4 في العدد 546,1 له القيمة 40.
أكتب الأعداد التالية في صورة متطورة
1) 12,94
2) 0,49
3) 546,1
الحل:
1) العدد 12,94 يتكون من الأرقام 1, 2, 9 و 4. رقم العشرات 1 له القيمة 10, رقم الآحاد 2 له القيمة 2, رقم الجزء من العشرة 9 له القيمة 0,9 (أي تسعة من عشرة) و رقم الجزء من المائة 4 له القيمة 0,04 (أي أربعة من مائة).
بالتالي العدد 12,94 يمكن كتابته في صورة متطور كما يلي
\(0,04+0,9+2+10\)
2) العدد 0,49 يتكون من الأرقام 0, 4 و 9. رقم الآحاد 0 له القيمة 0, رقم الجزء من العشرة 4 له القيمة 0,4 (أي 4 من عشرة) و رقم الجزء من المائة 9 له القيمة 0,09 (أي 9 من مائة).
لأن رقم الآحاد هو 0 لا نحتاج لإضافته عندما نكتب العدد 0,49 في صورة متطورة. بالتالي العدد 0,49 يمكن كتابته في صورة متطور كما يلي
\(0,09+0,4\)
3) العدد 546,1 يحتوي على الأرقام 5, 4, 6 و 1. رقم المئات 5 قيمتة 500, رقم العشرات 4 قيمتة 40, رقم الآحاد 6 قيمتة 6 و رقم الجزء من العشرة 1 قيمتة 0,1 (أي واحد من عشرة).
إذن العدد 546,1 يمكن كتابته في صورة متطورة كما يلي
\(0,1+6+40+500\)
فيديو الدرس (بالسويدية)
هنا نري كيفية كتابة الأعداد الطبيعية و الأعداد العشرية في صورة متطورة.