التكرارية

في القسم السابق كررنا مفهوم المتتاليات ورأينا كيف يمكننا حساب قيمة أي حد أو عنصر من عناصر المتتالية بالإضافة الى مجموع المتتاليات الحسابية والهندسية.

في هذا القسم سنشرح مفهوم التكرارية. يمكن استخدام التكرارية لحساب قيمة عنصر مُعين من عناصر المتتالية بناءاً على قيّم عناصر مُعطية أو محسوبة مُسبقا في المتتالية.

التكرارية

كما تعلمنا في قسم المتتاليات السابق يمكن حساب قيمة العنصر رقم $n$ (الحد النوني) في المتتالية الحسابية بالصِيغة العامة التالية

$${a}_{n}={a}_{1}+(n-1)\cdot d$$

حيث أن $a_n$ هو العنصر رقم $n$ (الحد النوني) في المتتالية و $a_1$ هو العنصر الأول في المتتالية و $d$ هو الفرق بين أي عنصر والعنصر السابق له في المتتالية.

على سبيل المثال يمكننا حساب قيمة العنصر رقم $n$ (الحد النوني) في المتتالية التالية

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

حيث يمكن حسابها باستخدام الصيغة

$$ {a}_{n}=3+(n-1)\cdot 2=$$

$$=3+2n-2=$$

$$=2n+1$$

لجميع $n\ge 1$

هذا مثال على صيغة مُغلقة (تُسمى أيضا بصيغة مباشرة أو صيغة صريحة). وباستخدام الصيغة المغلقة يمكننا مباشرةً حساب قيمة العنصر رقم $n$ (الحد النوني) في المتتالية.

ولكن هناك أيضا نوع آخر من الصيّغ يمكننا استخدامه لحساب قيمة العنصر رقم $n$ (الحد النوني) في المتتالية أعلاه وهو الصيغة التكرارية.

عند استخدام الصيغة التكرارية سنحسب قيمة العنصر رقم $n$ (الحد النوني) في متتالية ما باستخدام المعلومات المُعطية عن العناصر السابقة في المتتالية. وبالتالي يتم حساب قيمة العناصر بالتدريج فضلاً عن الترتيب.

بالنسبة للمتتاليات الحسابية والهندسية غالبا ما يكون من المفيد حساب قيمة العناصر باستخدام الصيغة المغلقة ولكن يمكننا أيضا استخدام الصيغة التكرارية في هذه الحالات.

وباستخدام الصيغة التكرارية في حالة المتتاليات الحسابية سنحصل على قيمة العنصر رقم$n$ أو الحد النوني $(n\ge 1)$ بإضافة الفرق-$d$ (الذي استخدمناه سابقا) إلى قيمة العنصر الذي يسبقه, أي العنصر رقم $(n-1)$, وذلك بافتراض أن قيمة العنصر الأول في المتتالية معلومة:

$${a}_{n}={a}_{n-1}+d$$

إذا أخذنا مثال المتتالية الآتي

$$3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,...$$

فيمكننا حساب قيمة العنصر رقم $n$ (الحد النوني) باستخدام الصيغة التكرارية التالية:

$$\begin{cases} & {a}_{1}=3 \\ & {a}_{n}={a}_{n-1}+2,\,\, \text{} n>1 \end{cases}$$

فهذا يعني أن قيمة العنصر الأول (عندما تكون $n=1$) هي $3$. أما إذا كانت $n\ge 1$ فإن قيمة أي عنصر ستكون عبارة عن قيمة العنصر الذي يسبقه زائدا $2$.

أما في حالة استخدام الصيغة التكرارية مع المتتاليات الهندسية فسنحصل على قيمة العنصر رقم $n$ أو الحد النوني $(n\ge 1)$ بضرب العامل $k$ فـي قيمة العنصر رقم $(n-1)$, وذلك بافتراض أن قيمة العنصر الأول للمتتالية, $a_1$ معلومة:

$${a}_{n}=k\cdot {a}_{n-1}$$

فإذا أخذنا مثال المتتالية الآتي

$$9,\,-3,\,1,\,-\frac{1}{3},\,\frac{1}{9},\,...$$

يمكننا حساب قيمة العنصر رقم $n$ (الحد النوني) بالصيغة التكرارية التالية:

$$\begin{cases} & {a}_{1}=9 \\ & {a}_{n}=\left (-\frac{1}{3} \right )\cdot {a}_{n-1},\,\, \text{} n>1 \end{cases}$$

فهذا يعني أن قيمة العنصر الأول (عندما تكون $n=1$) هي $9$. أما إذا كانت $n\ge 1$ فإن قيمة أي عنصر ستكون عبارة عن قيمة العنصر الذي يسبقه مضروباً فـي العامل $\raisebox{1ex}{$-1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.$.

عندما نتعامل مع المتتاليات الحسابية أو الهندسية يمكننا اختيار نوع الصيغة التي يمكن استخدامها لحساب قيمة العنصر رقم $n$ – إما الصيغة المغلقة أو الصيغة التكرارية. ومع ذلك هناك أنواع معينة من المتتاليات يمكن صياغة وحساب قيمة عنصرها رقم $n$ (الحد النوني) باستخدام الصيغة التكرارية بصورة أسهل بكثير من استخدام الصيغة المغلقة. ومن الأمثلة المعروفة لهذا النوع من المتتاليات هو متتالية فيبوناتشي-$\mathbf{Fibonaccis}$ التي سنتعرف عليها في الجزء القادم أدناه.

متتالية فيبوناتشي-Fibonacci

في العصور الوسطى أطلق العالم الإيطالي فيبوناتشي-$\mathbf{Fibonacci}$ اسمه على متتالية عددية. هذه المتتالية يتم فيها حساب قيمة أي عنصر بجمع قيمتي العنصرين السابقين ما عدا قيمتي العنصرين الأولين في المتتالية اللذان لهما القيمة $1$.

يمكن حساب قيمة العنصر رقم $n$ (الحد النوني) لمتتالية فيبوناتشي-$\mathbf{Fibonacci}$​ بالصيغة التكرارية التالية:

$$\begin{cases} & {a}_{1}=1 \\ & {a}_{2}=1 \\ & {a}_{n}={a}_{n-1}+{a}_{n-2},\,\, \text{} n>2 \end{cases}$$

وهذا التعريف عبارة عن متتالية عددية حيث يكون فيها أول عشرة عناصر كما يلي:

$$1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\,34,\,55,\,...$$

فباستخدام هذه الصيغة التكرارية على عناصر المتتالية بالترتيب يمكننا الحصول على القيّم التالية:

$$ {a}_{1}=1$$

$$ {a}_{2}=1$$

$$ {a}_{3}={a}_{2}+{a}_{1}=1+1=2$$

$$ {a}_{4}={a}_{3}+{a}_{2}=2+1=3$$

$$ {a}_{5}={a}_{4}+{a}_{3}=3+2=5$$

$$ ...$$

$$ {a}_{n}={a}_{n-1}+{a}_{n-2}$$

لقد ثبت علميا أن أعداد فيبوناتشي-$\mathbf{Fibonacci}$ مرتبطة ارتبطا وثيقا بالمُعَدَّل الذهبي, والعديد من الظواهر البيولوجية تُظهر خصائص مُماثلة لتسلسل أعداد فيبوناتشي-$\mathbf{Fibonacci}$, كالأنماط الحلزونية التي يمكن أن تحدث في النباتات على سبيل المثال.

---

فيديو الدرس بالسويدية