المعادلات التفاضلية غير المتجانسة

في القسم السابق تعلمنا ما هي المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة وكيف يمكننا إيجاد حلول المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة الأولى.

في هذا القسم سنتعرف على المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ونرى كيف يمكننا في بعض الحالات إيجاد حلول المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الرتبة الأولى.

المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة ذات الرتبة الأولى

عندما درسنا المعادلات التفاضلية في القسم السابق كنا نتعامل مع ما يُسمى بالمعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة الأولى. ويمكننا إعادة كتابة هذه المعادلات في الصيغة التالية:

$$y'+a\cdot y=0$$

حيث أن $y$ هي دالة في متغير واحد، و$y\text{'}$ هي المشتقة الأولى، و$a$ هو ثابت

من خلال تكامل المعادلة الأصلية يمكننا الوصول الى أن هذا النوع من المعادلات التفاضلية له الحل العام التالي

$$y=C\cdot {e}^{-ax}$$

حيث $C$ و $a$ ثوابت و $x$ متغير مستقل.

وبصورة أكثر عمومية يمكن كتابة هذا النوع من المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى في الشكل التالي

$$y'+a\cdot y=f(x)$$

حيث ان الطرف الأيمن من المعادلة عبارة عن دالة في $x$ ولا يحتوي على الدالة $y$ أو مشتقة للدالة $y$. المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة الأولى هي حالة خاصة حيث أن $f\left(x\right)=0$

ومع ذلك هناك معادلات تفاضلية خطية، حيث $f\left(x\right)$ لا تساوي صفر. وفيما يلي مثال على هذه المعادلة التفاضلية

$$y'+4y=2x-3$$

في هذه الحالة

$$f(x)=2x-3$$

هذه المعادلة التفاضلية هي مثال لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة الأولى.

 في هذا المثال كانت الدالة $f\left(x\right)$ هي متعددة حدود من الدرجة الأولى. عندما نتعامل مع المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الرتبة الأولى قد تكون الدالة $f\left(x\right)$ في الطرف الأيمن من المعادلة عبارة عن دالة متعددة حدود أو دالة مثلثية أو دالة أسية على سبيل المثال.

الحل المعين والحل العام

إيجاد حلول المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ليس سهلا كإيجاد حل المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة. عادة ما نقوم بما يُسمى بتوقع أو تقدير حل الدالة, أي كيف يبدو حل المعادلة, ولكن لا نستطيع معرفة قيّم الثوابت في تعبير حل الدالة.

قبل قليل قابلتنا المعادلة التفاضلية التالية:

$$y'+4y=2x-3$$

ففي هذه الحالة يمكننا الوصول إلى أن صيغة حل هذه المعادلة التفاضلية سيكون كما يلي

$$y=ax+b$$

حيث أن $a$ و $b$ ثوابت. واستخدمنا هذه الصيغة لأن الطرف الأيسر للمعادلة المُراد حلها تحتوي على $f\left(x\right)=2x-3$ وهي دالة متعددة حدود من الدرجة الأولى؛ أما إذا كانت $f\left(x\right)$ دالة متعددة الحدود من الدرجة الثانية فسنستخدم صِيغة متعددة حدود من الدرجة الثانية, وهكذا.

لنُفاضل دالة الحل بالنسبة لــ $x$ ونحصل على

$$y'=a$$

إذا عوضنا دالة الحل ومشتقتها في المعادلة الأصلية سنحصل على ما يلي في الطرف الأيسر:

$$a+4\cdot (ax+b)=a+4ax+4b$$

بما أن الطرف الأيسر يجب أن يساوي الطرف الأيمن في المعادلة التفاضلية فيجب علينا حل نظام المعاملات الآنية التالي لتحديد قيم الثوابت $a$ و $b$:

$$\left\{\begin{matrix} 4a & =2\\a+4b & =-3 \end{matrix}\right.$$

وبحل هذا النظام من المعادلات سنحصل على القيّم $a=0,5$ و $b=-0,875$.

وهذا يعني أن الدالة التالية هي حل لهذه المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة:

$$y=0,5x-0,875$$

هذا النوع من الحلول يُسمى بالحل الخاص (partikulärlösning) وعادة ما يُرمز له بـ $y_p$, بالتالي سيكون لدينا الحل التالي

$${y}_{p}=0,5x-0,875$$

أي أن ما أوجدناه هنا هو حل للمعادلة التفاضلية، ولكننا نهتم بإيجاد جميع الحلول للمعادلة التفاضلية وليس هذا الحل الوحيد فقط.

إذا قمنا بحل المعادلة التفاضلية المتجانسة المقابلة

$$y'+4y=0$$

سيكون لدينا حلول في صيغة الدالة التالية:

$$y=C\cdot {e}^{-4x}$$

وبما أن هذه الحلول عبارة عن حلول للمعادلة المتجانسة (homogena) فيمكننا أن نرمز إلى هذه الحلول بـ $y_h$, ليكون لدينا

$${y}_{h}=C\cdot {e}^{-4x}$$

بهذا الحل للمعادلة التفاضلية المتجانسة سيكون الطرف الأيسر للمعادلة التفاضلية عبارة عن صفر. وهذا يعني أننا يمكننا إضافة هذه الدالة إلى الحل الخاص الذي أوجدناه أعلاه وبالتالي نحصل على حلول المعادلة كما يلي:

$$y={y}_{p}+{y}_{h}=$$

$$=0,5x-0,875+C\cdot {e}^{-4x}$$

بالتالي فإن مجموع كل من الحل الخاص وحل المعادلة المتجانسة المقابلة هو أيضا عبارة عن حلول للمعادلة التفاضلية.

في الواقع المعادلة التفاضلية الخطية غير المتجانسة من الرتبة الأولى في الصيغة التالية

$$y'+a\cdot y=f(x)$$

يمكن كتابة حلولها في الصيغة التالية

$$y={y}_{p}+{y}_{h}$$

حيث أن $y_p$ هو الحل الخاص و$y_h$ هو الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة المقابلة. لذلك فإن مجموع هذه الحلول هو حل عام لمعادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة الأولى.

---

ڤيديو الدرس بالسويدية