Utspark med fotboll

Med vilken hastighet (km/h) ska en fotboll sparkas ut (liggande boll) för att nå 10 meter längre än mittlinjen? Hur högt når bollen som högst? Bollen ligger i ursprungsläget på linjen 5,5 meter in från kortlinjen. Planens längd är 105 meter. Bollen sparkas ut i en vinkel på 35° från marken.

Ekvationerna för läget i x-led (längd) respektive y-led (höjd) är då följande (vi bortser från luftmotståndet):

$$\\x(t)=x_{0}+v_{x}t\\$$

$$\\y(t)=y_{0}+v_{y}-\frac{gt^{2}}{2}\\$$

där (x0, y0) är bollens startpunkt, vx är hastigheten i längdled och vy är hastigheten i höjdled och g = 9,82 m/s2 är tyngdaccelerationen.

Scrolla ned för att se lösningen:

fotboll

Bollens startpunkt (x0, y0) = (5,5;0).

Vi kallar motstående katetar för vy och närliggande för vx, hypotenusan kallar vi för v.

triangel


Vi får följande samband mellan hastigheten v och hastigheten i x-led respektive y-led, där θ = 35°.

$$\\cos\, \theta =\frac{v_{x}}{v}\Rightarrow v_{x}=v\cdot cos\, \theta \\\\\\sin\, \theta =\frac{v_{y}}{v}\Rightarrow v_{y}=v\cdot sin\, \theta \\$$

Vi kallar tidpunkten då fotbollen når marken för t1 och koordinaten för (x1, y1).

$$\\x_{1}=\frac{105}{2}+10=52,5+10=62,5\\$$

$$\\x_{1}=x(t_{1})=x_{0}+v_{x}t_{1}=5,5+v\cdot cos\, 35\cdot t_{1}=62,5\\$$

För y-koordinaten får vi följande samband:

y1=0

$$\\y_{1}=y(t_{1})=y_{0}+v_{y}t_{1}-\frac{gt^2_1}{2}=0+v\cdot sin\, 35\cdot t_{1}-\frac{9,82t^{2}_{1}}{2}=0\\$$

Lös ut v∙t1 ur ekvationen för x1:

$$\\v\cdot cos\, 35\cdot t_{1}=62,5-5,5\\$$

$$\\v\cdot t_{1}=\frac{57}{cos\, 35}\\$$

Vi sätter nu in det uttrycket i ekvationen för y1:

$$\\\frac{57\cdot sin\, 35}{cos\, 35}-4,91^{2}_{1}=0\\$$

$$\\t^{2}_{1}=\frac{57\cdot sin\, 35}{4,91\cdot cos\, 35}\\$$

$$\\t_{1}=\sqrt{\frac{57\cdot sin\, 35}{4,91\cdot cos\, 35}}=2,851084\\$$

Vi kan nu räkna ut v:

$$\\v=\frac{57}{t_{1}\cdot cos\, 35}=\frac{57}{2,851084\cdot cos\, 35}=24,4062\\$$

24,4062 m/s = 24,4062•10-3 km/(h/3600)=24,4062 • 3,6 km/h = 87,8623 km/h

Vi ska nu räkna ut bollens högsta punkt.

Vi vet att när y(t) har ett maximum så är derivatan med avseende på t lika med 0.

$$\\y(t)'=\frac{d}{dt}\left ( v\cdot sin\, 35\cdot t-\frac{9,82t^{2}}{2} \right )=v\cdot sin\, 35-9,82t=0\\$$

$$\\t=\frac{v\cdot sin\, 35}{9,82}=\frac{24,2062\cdot sin\, 35}{9,82}=1,425542\\$$

Vi kan nu räkna ut på vilken höjd bollen befinner sig på vid den tidpunkten:

$$\\y(1,425542)=v\cdot sin\, 35\cdot t-\frac{9,82t^{2}}{2}=\\\\=24,4062\cdot sin\, 35 \cdot t-\frac{9,82\cdot (1,425542)^{2}}{2}=\\\\=9,97795\approx 10m\\$$

Bollen sparkas iväg med hastigheten 88 km/h och når maximalt höjden 10 m.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.

هل إكتشفت خطأ أو لديك تعليقات على المادة الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se