Maximera triangeln

En likbent (två sidor är lika långa) triangel har omkretsen O. Hur stor ska vinkeln (uttryckt i grader) mellan de två lika långa sidorna vara för att triangelns area ska bli så stor som möjligt?

maximera triangel

Scrolla ned för att se lösningen:

Vi kallar sidorna som är lika långa för x och den tredje sidan för y. Den sökta toppvinkeln kallar jag för v.

Summan av sidorna är lika med omkretsen, vilket ger följande samband:

$$\\O=x+x+y=2x+y\\$$

Vi kan uttrycka y i O och x:

$$\\y=O-2x\\$$

Arean A = basen ∙ höjden / 2

Vi kallar höjden för h. Vi kan nu räkna ut h med hjälp av Pythagoras sats genom att bilda en rätvinklig triangel med sidorna x, h och y/2:

$$\\h^{2}+ ( \frac{y}{2} )^{2}=x^{2}\\\\h^{2}+ ( \frac{O-2x}{2} )^{2}=x^{2}\\\\h^{2}+(\frac{0}{2}-x)^{2}=x^{2}\\\\h^{2}+\frac{O^{2}}{2}-2\cdot \frac{O^{2}}{2}\cdot x+x^{2}=x^{2}\\\\h^{2}=Ox-\frac{O^{2}}{4}\\\\h=\sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}},\: \: (h>0)\\$$

Det ger arean:

$$\\A=\frac{y\cdot \sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}}{2}\\\\A=\frac{1}{2}\cdot \left (\frac{O}{2}-x \right )\cdot \sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}\\\\A=\frac{1}{2}\cdot\left ( \frac{O}{2}-x \right )\cdot \left (Ox-\frac{O^{2}}{4} \right )^{\frac{1}{2}}\\$$

Vi söker nu det x som maximerar A genom att sätta derivatan av A med avseende på x lika med 0 och använder oss av kedjeregeln och inre derivatan:

$$\\A'(x)=\frac{d}{dx}\left ( \frac{1}{2}\cdot \left ( \frac{O}{2}-x \right ) \right )\cdot \left ( Ox-\frac{O^{2}}{4} \right )^{\frac{1}{2}}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \left ( \left ( -1 \right )\cdot \left ( Ox-\frac{O^{2}}{4} \right )^{\frac{1}{2}} +\left ( \frac{O}{2}-x \right )\cdot \frac{1}{2}\left ( Ox-\frac{O^{2}}{4} \right )^{-\frac{1}{2}}\cdot O\right )=\\\\\\=\frac{1}{2\sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}}\cdot \left ( -Ox+\frac{O^{2}}{4}+\frac{O^{2}}{4}-\frac{Ox}{2} \right )=\\\\\\=\frac{1}{2\sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}}\cdot \left ( \frac{O^{2}}{2}-\frac{3\cdot Ox}{2} \right )=0\\$$

Vi har nu produkten av två faktorer som är lika med 0. Den första kan aldrig bli lika med noll, vilket innebär att den andra faktorn måste vara lika med 0:

$$\\\frac{O^{2}}{2}-\frac{3\cdot Ox}{2}=0\\\\x=\frac{O^{2}}{2}\cdot \frac{2}{3\cdot O}=\frac{O}{3}\\$$

Vi kan nu räkna ut y och h:

$$\\y=O-2x=O-2\cdot \frac{O}{3}=\frac{O}{3} \\\\h=\sqrt{Ox-\frac{O^{2}}{4}}=\sqrt{O\cdot \frac{O}{3}-\frac{O^{2}}{4}}=\sqrt{O^{2}\frac{4-3}{12}}\\\\h=\frac{O}{\sqrt{12}}=\frac{O}{2\sqrt{3}}\\$$

Eftersom alla sidor i triangeln är lika långa (O/3) så är den liksidig och alla vinklar är lika stora, d.v.s. 60° (180°/3).

Vi kan också räkna ut vinkeln v genom att använda oss av cosinus för halva vinkeln:

$$\\cos\, \frac{v}{2}=\frac{h}{x}\\\\\\cos\, \frac{v}{2}=\frac{O}{2\sqrt{3}}\div \frac{O}{3}\\\\\\cos\, \frac{v}{2}=\frac{O}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{3}{O}\\\\\\cos\, \frac{v}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\\\\frac{v}{2}=cos^{-1}\, (\frac{\sqrt{3}}{2})\\\\\\\frac{v}{2}=30^{\circ}\\\\v=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}\\$$

vilket alltså stämmer med resonemanget ovan då vi insåg att vinkeln v är 60°.

Vinkeln ska vara 60°.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.

هل إكتشفت خطأ أو لديك تعليقات على المادة الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se