Derivata Kedjeregeln

Betrakta kurvan \(y=(x^2-4x+3)^2+1\). Visa med hjälp av derivatan att kurvan har en vågrät tangent i en punkt vars \(x\)-koordinat är 2. Ange en ekvation för denna tangent. Finns det fler punkter på kurvan där tangenten är vågrät?

 

Lösning

Vi börjar med att derivera funktionen. För att enklast derivera \(y=(x^2-4x+3)^2+1\) använder vi oss av kedjeregeln, vilken är:

$$f'(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Vi sätter \(g(x)=x^2-4x+3\) och \(f(u)=u^2+1\). Då blir \(y=f(g(x))\).

Vi tar först fram \(f'(g(x))\), vilket enklast tas fram genom att först hitta \(f'(u)\):

$$f(u)=u^2+1 \implies f'(u)= 2u$$

Sätter vi nu in \(g(x)=u\) får vi \(f'(g(x))\):

$$f'(g(x))=2(x^2-4x+3)$$

Nu tar vi fram \(g'(x)\):

$$g(x)=x^2-4x+3 \implies g'(x)=2x-4$$

Vi använder oss nu av kedjeregeln och sätter in de derivator vi räknade ut:

$$\begin{align} & f'(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x) \\ & f'(g(x)) = 2(x^2-4x+3) \cdot (2x-4) \end{align}$$

För att hitta derivatans nollställen sätter vi derivatan lika med noll. Det betyder att uttrycken i parenteserna ska sättas lika med noll och att vi kan lösa dessa ekvationer var för sig.

$$f'(g(x)) = 2(x^2-4x+3) \cdot (2x-4)=0$$

ger alltså följande ekvationer:

$$\begin{align}& \text{Fall 1: } 2(x^2-4x+3)=0 \\ & \text{Fall 2: } (2x-4)=0 \end{align}$$

Fall 1:

$$\begin{align} 2(x^2-4x+3) & =0 \\ (x^2-4x+3) & =0 \end{align}$$

Vi använder oss av pq-formeln:

$$\begin {align} & x=\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-3} \\ & x=2 \pm \sqrt{4-3} \\ & x= 2\pm 1 \\ & x_1=1 \\ & x_2=3 \end{align}$$

Fall 2:

$$2x-4=0 \implies x_3=2$$

Vi har alltså hittat tre nollställen till funktionen:

$$\begin{align} x_1 & = 1 \\ x_2 & = 3 \\ x_3 & = 2 \end{align}$$

Vi har alltså hittat att derivatan är noll i punkten då \(x=2\), vilket betyder att kurvan är en vågrät tangent i denna punkt. Eftersom vi hittade två nollställen till betyder det att kurvan även har två vågräta tangenter till i punkterna då \(x=1\) och \(x=3\).

För att hitta ekvationen för den vågräta tangenten i punkten då \(x\)-koordinaten är 2, sätter vi in \(x=2\) i funktionen \(y=(x^2-4x+3)^2+1\):

$$\begin{align}y & = (2^2-4\cdot 2+3)^2+1 \\ y & =(4-8+3)^2+1 \\ y & = (-1)^2+1 \\ y & = 2 \end{align}$$

Tangentens ekvation i punkten \((2,2)\) är alltså \(y=2\). Vi kan räkna tangentens ekvation på detta sätt eftersom vi vet att tangenten i denna punkt är en vågrät linje. Vet man inte det kan man räkna ut tangentens ekvation genom följande formel:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$

هل إكتشفت خطأ أو لديك تعليقات على المادة الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se