Area & Cosinussatsen

Triangeln nedan har hörnen \(A=(1,1)\), \(B=(5,3)\) och \(C=(2,4)\).

Area och Cosinussatsen

1. Bestäm längden på triangelns sidor \(a\), \(b\) och \(c\).

2. Beräkna vinkeln vid punkten A.

3. Beräkna triangelns area.

 

Lösning

1. Vi använder oss av avståndsformeln dör att beräkna längden, \(d\), på sidorna:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Det ger:

$$\begin{align} a & = \sqrt{(2-5)^2+(4-3)^2}=\sqrt{(-3)^2+(1)^2}=\sqrt{10}\\ b & = \sqrt{(2-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(1)^2+(3)^2}=\sqrt{10}\\ c & = \sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{(4)^2+(2)^2}=\sqrt{20}\end{align}$$

 

2.Vi beräknar vinkeln vid \(A\) (com vi kallar \(v\)) med hjälp av cosinussatsen:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(v)$$

Det ger:

$$\begin{align}(\sqrt{10})^2= & (\sqrt{10})^2+(\sqrt{20})^2-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos(v) \\ 10 = & 10+20-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos(v)\\ 10 = & 30-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos(v)\\ 10-30 = & -2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos(v)\\ \frac{-20}{-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}} = & \cos(v)\\ v= & \arccos \left( \frac{20}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}}\right) \\ v=& 45^{\circ} \end{align}$$

 

3. Arean på triangeln beräknar vi med hjälp av areasatsen:

$$area=\frac{a\cdot c \sin(v)}{2}$$

Det ger:

$$\begin{align}area= & \frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\sin(45)}{2}\\ =&\frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\\ =& \frac{\sqrt{\frac{200}{2}}}{2}\\ =& \frac{10}{2}\\=& 5\end{align}$$

هل إكتشفت خطأ أو لديك تعليقات على المادة الموجودة في هذه الصفحة؟ راسلنا علي: matteboken.arabiska@mattecentrum.se