معادلة الدائرة

في الأقسام السابقة تعرفنا على الدوال المُثلثية كما درسنا دائرة الوحدة وكيفية إستخدامها في حل المعادلات المُثلثية.

في هذا القسم سنتعلم كيف يمكننا وصف الدوائر رياضياً بدون استخدام الدوال المثلثية والزوايا.

دائرة الوحدة التي قابلناها سابقا تتمركز عند نقطة الأصل \((x =0, y =0)\). أما الدوائر بصورة عامة ليس من الضروري أن يكون مركزها عند نقطة الأصل، فقد يكون مركزها عند أي نقطة عشوائية \((x_0, y_0)\).

تتميّز دائرة الوحدة بنصف قطر طوله واحد صحيح \((r =1)\), لكن الدوائر بصورة عامة لها أنصاف أقطار أطوالها مختلفة. تتألف الدائرة نفسها من جميع النقاط التي تقع بالضبط على مسافة نصف قطر من مركز الدائرة.

إذا تخيّلنا أن لدينا دائرة مركزها عند نقطة الأصل، بالتالي يمكننا وصف أي نقطة تقع على محيط الدائرة بإستخدام مثلث قائم الزاوية، حيث أن وتره هو عبارة عن نصف قطر الدائرة \((r)\) أما الضلعين القائمين للمثلث فأحدهما أفقي يقع على محور \(x\) والآخر يتعامد مع محور \(y\). وبإستخدام نظرية فيثاغورث يمكننا الحصول على علاقة بين وتر المثلث وضلعيه القائمين كما يلي:

$$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

وهذا التعبير ينطبق على الدوائر التي يقع مركوها عند نقطة الأصل.

أما إذا كان مركز الدائرة عند نقطة أخرى \((x_0, y_0 )\) فمن ثم يمكننا كتابة هذه العلاقة بصورة عامة كما يلي:

$$(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}=r^{2}$$

إذا كان على سبيل المثال لدينا دائرة نصف قطرها يساوي 3 ومركزها يقع عند النقطة \((1, 2)\), فمن ثم ستكون العلاقة الخاصة بهذه الدائرة كما يلي

$$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=3^{2} $$

فيديوهات الدرس

في هذا الفيديو سنشرح معادلة الدائرة.

كيف يمكن إيجاد معادلة الدائرة وكيف يمكننا تحديد ما إذا كانت نقطة ما تقع على محيط  الدائرة أم لا.