قواعد التفاضل
سابقا درسنا صيغة التفاضل بإستخدام المسافة-h وكيفية استخدامها لحساب مُشتقات الدوال عند نقطة معينة. ومع ذلك قد يكون غير عملي إستخدام تعريف المُشتقة بإستخدام المسافة-h في تفاضل الدوال (حساب النهاية) بصورة مستمرة.
لحسن الحظ هناك قواعد تفاضل أسرع ويمكن استنتاجها من تعريف المشتقة باستخدام المسافة-h ومن ثم يمكن استخدامها لحساب مُشتقات تلك الدوال الأكثر شيوعاً.
الآن سنقوم باستنتاج عدد من قواعد التفاضل البسيطة والأكثر استخداماً. ليس من الضروري المقدرة على استنتاج هذه القواعد ولكن يجب متابعة وفهم استنتاجها ومن ثم المقدرة على استخدام هذه القواعد التي توصلنا إليها.
مُشتقة دوال الدرجة الأولى
دعونا نبدأ بدالة خطية بسيطة ونحسب مشتقتها:
$$f(x)=5x$$
$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{5(x+h)-5x}{h}=\frac{5h}{h}=5$$
نلاحظ أن المشتقة هي نفسها لجميع قيّم \(x\), المُشتقة دائما تساوي 5 لهذه الدالة.
إذا رجعنا للعمليات الحسابية أعلاه يمكننا أن نلاحظ أن هناك علاقة عامة بين قيمة-k للدالة الخطية البسيطة ومُشتقتها (كما نعلم أن قيمة-k هي ميل الخط المستقيم وهي متساوية عند جميع النقاط على طول الخط):
$$f(x)=ax$$
$$f{}'(x)=a$$
مُشتقة دوال الدرجة الثانية
لنحسب الآن مُشتقة دوال الدرجة الثانية البسيطة:
$$f(x)=3x^{2}$$
$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}=$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^{2}+2xh+h^{2})-3x^{2}}{h}=$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}-3x^{2}}{h}=$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6xh+3h^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(6x+3h)}{h}=$$
$$=\lim_{h\rightarrow 0}(6x+3h)=6x $$
إذن مُشتقة الدالة \(f(x)=3x^{2}\) هي:
$$f'(x)=6x$$
العلاقة بين دوال الدرجة الثانية البسيطة ومُشتقاتها ليس واضحة تماما كما في حالة دوال الدرجة الأولى البسيطة، فيما يلي الصورة العامة للعلاقة بين دوال الدرجة الثانية البيسطة ومُشتقتها:
$$f(x)=ax^{2}$$
$$f'(x)=2ax$$
مشتقة دوال الدرجة الثالثة
بنفس طريقة إشتقاق دوال الدرجة الثانية البسيطة يمكننا اشتقاق دوال الدرجة الثالثة البسيطة.
فيما يلي لدينا مثال على مشتقة دالة من دوال الدرجة الثالثة البسيطة:
$$f(x)=2x^{3}$$
$$f'(x)=6x^{2}$$
الصورة العامة لمشتقة دوال الدرجة الثالثة البسيطة هي كما يلي:
$$f(x)=ax^{3}$$
$$f'(x)=3ax^{2}$$
مشتقة دوال الدرجة-N
عندما نقوم بإشتقاق دوال متعددات الحدود البسيطة ذات الدرجة الأعلى عن طريق قاعدة تعريف المشتقة بإستخدام المسافة-h سنلاحظ أن مشتقاتها تتبع للصورة العامة لدوال الدرجة-n \((n \neq 0)\):
$$f(x)=a\cdot x^{n}$$
$$f'(x)=na\cdot x^{n-1}$$
مشتقة دوال الدرجة صفر
دوال الدرجة صفر هي الدوال التي يكون فيها أعلى أس هو الصفر \((x^0)\) أي التي لا تحتوي على متغير مستقل. فيما يلي لدينا مثال على هذا النوع من الدوال:
$$f(x)=5 $$
فيما يلي سنشرح كيف تكون هذه الدالة من الدرجة صفر بإعادة كتابة تعبير الدالة كما يلي:
$$f(x)=5=5\cdot 1 \Rightarrow$$
$$\Rightarrow \left \{ x^{0}=1 \right \} \Rightarrow $$
$$\Rightarrow 5\cdot 1=5\cdot x^{0}$$
الرسم البياني لهذه الدالة هو عبارة عن خط أفقي (خط مواز لمحور \(x\)). ميل هذا النوع من الخطوط يجب أن يكون صفر \((k = 0)\), كما أن مشتقة الدالة أيضا يجب أن تكون صفر.
لنستخدم تعريف المشتقة بإستخدام المسافة-h:
$$f(x)=5=5x^{0}$$
$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)^{0}-5x^{0}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h}= $$
$$=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=\lim_{h \to 0}0=0$$
وهذا ما يؤكد أن مشتقة دوال الدرجة صفر تساوي صفر كما توقعنا. في الواقع يمكننا تكرار الإستنتاج أعلاه مع دالة عشوائية من الدرجة صفر (\(f(x) =a\)) وسنجد أن المشتقة تساوي 0.
الصورة العامة لدوال الدرجة صفر ومشتقتها هي كما يلي:
$$f(x)=a$$
$$f'(x)=0$$
مشتقة دوال متعددات الحدود
الآن درسنا مشتقات الدوال البسيطة ذات الدرجات المختلفة. ولكن ماذا سيحدث إذا كان لدينا متعددة حدود تحتوي على حدود ذات درجات مختلفة؟ فيما يلي مثال على دالة متعددة الحدود:
$$f(x)=x^{2}+3x$$
يمكن اشتقاق (تفاضل) تعبير هذه الدالة بنفس طريقة إشتقاق الدوال البسيطة أعلاه وذلك عن طريق تعريف المشتقة بإستخدام المسافة-h. وإذا تمت العمليات الحسابية بشكل صحيح سنحصل على المشتقة التالية لهذه الدالة:
$$f(x)=x^{2}+3x$$
$$f'(x)=2x+3$$
إذا قارنّا حدود المُشتقة مع حدود الدالة في هذا المثال سنلاحظ أن حدود المُشتقة هي عبارة عن مجموع مُشتقات حدود الدالة الأصلية.
يمكننا أن نقول أن الصورة العامة للعلاقة بين متعددة الحدود ومُشتقتها هي كما يلي:
$$f(x)=a(x)+b(x)$$
$$f'(x)=a'(x)+b'(x)$$
بمعنى أن: مُشتقة متعددة الحدود هي مجموع مُشتقات حدود الدالة نفسها.
قواعد التفاضل
نلخص النتائج أعلاه في جدول التالي:
| \(f'(x)\) | \(f(x)\) |
| \(0\) | \(C\) |
| \(1\) | \(x\) |
| \(2x\) | \(x^2\) |
| \(3x^2\) | \(x^3\) |
| \(4x^3\) | \(x^4\) |
| \(\dots\) | \(\dots\) |
| \(n\cdot x^{n-1}\) | \(x^n\) |
حيث أن C حد ثابت.
مشتقة بعض الدوال الشائعة الأخرى
فيما يلي سنقوم بتفاضل بعض الدوال الشائعة الأخرى، ولكن بدون تعريف المشتقة بإستخدام المسافة-h. يكفي إستخدام القواعد التي وصلنا إليها في الجدول أعلاه.
لدينا دالة بسيطة تحتوي على تعبير داخل جذر:
$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$
$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=$$
$$=\frac{1}{2\cdot x^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$$
قاعدة التفاضل لهذه الدالة:
$$f(x)=\sqrt{x}$$
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$
فيما يلي مثال لدالة بسيطة تحتوي على أُس سالب:
$$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$
$$f{}'(x)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$$
قاعدة التفاضل لهذه الدالة:
$$f(x)=\frac{1}{x}$$
$$f{}'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$$
فيديوهات الدرس
كيفية إشتقاق الثوابت.
كيفية إشتقاق دوال متعددات الحدود البسيطة.
كيفية إشتقاق دوال متعددات الحدود.
كيقية إشتقاق دوال القوى (دوال الدرجة-n).
اسنعراض القاعدة العامة لقواعد الإشتقاق.