مفهوم الدالة
في الكورس رياضيات 1 تعرفنا على أساسيات مفهوم نظام الإحداثيات وفي القسم السابق تعلمنا كيفية رسم المخططات البيانية لتوضيح علاقة معينة. في هذا القسم سنتعلم استخدام أحد المفاهيم المهمة وهو مفهوم الدالة كما سنرى كيف يمكننا ربط ذلك مع الرسوم البيانية وأنظمة الإحداثيات.
تُستخدم الدالة في وصف العلاقة بين متغيرين أو أكثر.
لنبدأ بالمثال التالي
إذا كانت تعمل إيناس عمل إضافي في عطلات نهاية الأسبوع بحيث تحصل على أجر معين في الساعة ويكون أجرها الكلي حسب عدد الساعات الكلي التي عملتها. يمكن اعتبار أن إجمالي راتب إيناس مقابل عملها كدالة في عدد الساعات الكلي التي عملتها؛ فكلما زاد عدد الساعات كلما زاد راتبها.
لنفترض أن أجر إيناس في الساعة 80 كرونة. يمكننا إنشاء الدالة التالية لوصف إجمالي راتبها لفترة زمنية معينة:
$$y=80x$$
حيث أن \(x\) هو عدد الساعات التي عملتها و \(y\) هو الراتب الذي ينبغي أن تحصل عليه مقابل عملها لمدة \(x\) ساعة.
لكل قيمة من قيّم \(x\) توجد قيمة واحدة لـ \(y\) وتعتمد قيمة \(y\) على قيمة \(x\) - فإذا تغيرت قيمة \(x\) ستتغير قيمة \(y\) أيضا. لذلك تُسمى \(y\) بالمتغير التابع وتُسمى \(x\) بالمتغير المُستقل؛ أي أن قيمة المتغير \(y\) تعتمد على قيمة \(x\). في المثال أعلاه لدينا ببساطة أن لكل عدد ساعات تعمله إيناس هناك راتب معين ستحصل عليه مقابل عدد الساعات.
الدالة هي عبارة عن علاقة أو قاعدة يمكن تشبيهها بآلة أو ماكينة حيث يمكنك ادخال قيمة معينة في إحدى نهايتيها، فلتكن هذه القيمة المُدخلة هي \(x\) على سبيل المثال، بحيث نحصل على قيمة أخرى من النهاية الأخرى، تُسمى هذه القيمة الأخرى بــ \(y\) على سبيل المثال وهي التي تُمثل قيمة الدالة.
لتوضيح أن \(y\) تعتمد على \(x\) (\(y\) هي المتغير التابع) عادة ما تُكتب الدالة كما يلي.
$$y=y(x)$$
وتُقرأ \(y\) دالة في \(x\) أو "\(y( x)\)" للتبسيط. بالتالي يمكننا صياغة راتب إيناس في المثال أعلاه كما يلي:
$$y(x)=80x$$
الرمز الشائع للدوال التي تعتمد على متغير ما مثل \(x\) هو \(f (x)\).
يمكن وصف الدالة بعدة طرق وما رأيناه سابقا هو وصف باستخدام صيغة رياضية، كما في حالة راتب إيناس الذي تم وصفه بالدالة
$$y(x)=f(x)$$
سابقا تم الوصف باستخدام صيغة رياضية كالمثال السابق في حالة راتب إيناس والذي تم وصفه بالدالة
$$y(x)=80x$$
يمكننا أيضا التعبير عن الدالة لغةً أو حرفياً. أي أن راتب إيناس الكلي هو عبارة عن حاصل ضرب أجر الساعة بالكرونة (80 كرونة) فـي عدد الساعات الكلي التي عملتها إناس.
يمكننا أيضا وصف الدالة باستخدام جداول البيانات (جدولة القيّم):
| عدد الساعات (x) | الراتب الكلي (y) |
| 1 | 80 |
| 2 | 160 |
| 3 | 240 |
| 4 | 320 |
| 5 | 400 |
كما يمكن أيضا وصف الدالة برسمها بيانيا على نظام إحداثيات، على سبيل المثال يمكن وصف دالة راتب إيناس بالرسم التالي:
حيث أن الكلمات السويدية (total lön) على محور \(y\) تعني الراتب الكلي و (antal timmar) على محور \(x\) تعني عدد الساعات.
لاحظ اختلاف تقسيم المحورين \(x\) و \(y\) على نظام الإحداثيات أعلاه. كما ذكرنا في القسم السابق من المهم جدا اختيار تقسيم أو تدرج مناسب على محاور نظام الإحداثيات، بحيث تظهر العلاقة أو الدالة بشكل واضح. في نظام الإحداثيات أعلاه كل خطوة على طول محور \(x\) تعادل ساعة عمل بينما كل خطوة على محور \(y\) تعادل 100 كرونة.
المجال والمدى
إذا رجعنا إلى دالة راتب إيناس أعلاه سنلاحظ أنه يمكننا إدخال قيّم سالبة لـ \(x\) والحصول على قيّم سالبة لـ \(y\) (على سبيل المثال \(x = -1\) ستعطينا \(y = -80\)), ولكن ما معنى أن عدد الساعات التي عملتها إيناس عدد سالب؟ ربما نستنتج أن إيناس ستخسر 80 كرونة مقابل كل ساعة لم تعمل فيها، فهذا قد يكون غريبا والى يومنا هذا لا يوجد في سوق العمل مثل هذا النوع من التعامل، وهذا ليس ما نريد وصفه باستخدام هذه الدالة.
يمكننا أن نستخلص أن الدالة
$$y=80x$$
يمكن تطبيقها لوصف راتب إيناس كما نريد ولكن لا يمكننا استخدام قيّم سالبة للمتغير \(x\). بالتالي يجب أن تكون قيّمة \(x\) أكبر من أو تساوي 0. أيضا لا يمكن أن تعمل إيناس عدد من الساعات كما تشاء. بطبيعية الحال لا يزيد معدل ساعات العمل عن 40 ساعة في الأسبوع، وقد لا يسمح رب العمل لإيناس أن تعمل عدد من الساعات كما تريد (علاوة على ذلك، في اليوم لدينا 24 ساعة فقط).
وهذا يعني أنه توجد قيّم معينة لـ \(x\) يمكن تطبيقها في الدالة وهي ما تُسمى بالقيّم التي تكون عندها الدالة مُعرفة. وعادة ما تُسمى هذه القيّم لــ \(x\) بمجال الدالة؛ وهذه هي مجموعة قيّم المتغير المُستقل المسموح بها والمتغير المُستقل هو \(x\) في هذه الحالة.
مثلا إذا نظرنا الى فترة اسبوع يمكن أن يكون مجال دالة راتب إيناس كما يلي:
$$0\leq x\leq 40$$
في هذا السياق يمكن تفسير مجال هذه الدالة بأن إيناس يمكنها أن تعمل من صفر إلى 40 ساعة كحد أقصى في الأسبوع.
كل قيمة من قيّم \(x\) المسموح بها تقابلها قيمة معينة لــ \(y\). جميع قيّم \(y\) التي يمكن الحصول عليها تُسمى بمدى الدالة - مدى الدالة هو مجموعة القيّم التي يمكن الحصول عليها من الدالة.
في المثال أعلاه المجال هو جميع قيّم \(x\) من 0 الى 40 ومجموعة القيّم التي تقابلها هي المدى وهي ما بين 0 (إذا عملت إيناس 0 ساعة أي أنها لم تعمل ستحصل على أجر \((80 × 0 = 0)\) صفر كرونة) الى 3200 (إذا عملت لمدة 40 ساعة, ما يعطي أن أجرها سيكون \((80 × 40 = 3200)\) 3200 كرونة).
لذلك يمكننا كتابة مدى الدالة كما يلي:
$$0\leq y\leq 3200$$
فيديوهات الدرس (بالسويدية)
في هذا الفيديو مقدمة عن مفهوم الدوال.
في هذا الفيديو تعريف مفهومي المجال والمدى.
في هذا الفيديو نمر على كيفية وصف الدوال عن طريق الرسم على نظام الإحداثيات.
في هذا الفيديو سنمر على مفهوم الدوال وكيفية تقديمها أو عرضها.