المعادلات الجذرية
هذا القسم يدخل ضمن مقرر رياضيات 2c.
المعادلة التي يكون فيها متغير مثل \(x\) تحت علامة جذر تسمى بمعادلة جذرية. في هذا القسم سنشرح هذا النوع من المعادلات وما ينبغي علينا وضعه في الاعتبار عند حلها.
نبدأ بالمثال التالي للمعادلة الجذرية
$$3\sqrt{x}=9$$
عندما يكون لدينا معادلة جذرية نحلها بإعادة كتابة المعادلة بحيث يكون التعبير تحت علامة الجذر وحده في أحد الطرفين ثم نربع كلا الطرفين.
بهذه الطريقة سنحصل على ما يلي:
$$3\sqrt{x}=9$$
$$\sqrt{x}=\frac{9}{3}=3$$
$$\begin{pmatrix} \sqrt{x} \end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix}^{2}$$
$$x=9$$
الجذور الكاذبة
عندما نحل معادلة جذرية عن طريق عملية تربيع الطرفين نحصل في بعض الأحيان على ما يُسمى بالجذور الكاذبة. بالنظرة الأولى قد تظهر هذه الجذور كحلول (جذور) للمعادلة الأصلية ولكن إذا حاولنا التحقق منها سنجدها لا تمثل حلولا في الواقع.
لذلك من المهم أن نتحقق من صحة الحلول التي نحصل عليها عند حل المعادلات الجذرية. وذلك بتعويض الحلول التي تحصلنا عليها في المعادلة الجذرية الأصلية ونرى ما إذا كان الطرفان متساويان، أي أن الطرف الأيسر يساوي الطرف الأيمن.
لنتحقق من صحة الحل الذي أوجدناه في المثال السابق \((x = 9)\) بالتعويض في المعادلة الأصلية
$$3\sqrt{x}=9\Rightarrow 3\sqrt{9}=9$$
$$3\cdot3=9$$
صحيح \(9=9\Rightarrow\)
معادلات جذرية أكثر تعقيدا
إذا كان لدينا أكثر من حد متغير تحت علامة الجذر سنتعامل مع المعادلة بنفس الطريقة كما في المثال السابق. سنبدأ بإعادة كتابة المعادلة الجذرية بحيث يكون التعبير تحت علامة الجذر وحده في الطرف الأيسر ثم نربع الطرفين. ومن ثم نحل المعادلة كأي معادلة أخرى.
فيما يلي مثال على ذلك
$$\sqrt{2-x}=x$$
نبدأ بتربيع طرفي المعادلة ومنها سنحصل على معادلة من الدرجة الثانية
$$\sqrt{2-x}=x$$
$$\left ( \sqrt{2-x} \right )^{2}=x^{2}$$
$$2-x=x^{2}$$
$$x^{2}+x-2=0$$
هذه المعادلة مكتوبة في الصورة المطلوبة التي يمكن حلها باستخدام صيغة-pq.
باستخدام صيغة-pq يمكننا الحصول على ما يلي:
$$x^{2}+x-2=0$$
$$p=1$$
$$q=-2$$
$$x=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-(-2)}=$$
$$=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}=$$
$$=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=$$
$$=-\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$$
بالتالي سيكون لدينا حلين:
$$x_1=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$$
$$x_2=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$
الآن بعد أن تحصلنا على الحلين \((x = 1)\) و \((x = -2)\) يجب علينا التحقق من صحة هاذين الحلين وذلك بالتعويض في المعادلة الجذرية الأصلية للتأكد من عدم وجود الجذور الكاذبة.
لنعوض هذه القيّم كما يلي:
\(\sqrt{2-1}\overset{?}{=}1\\ 1=1\)
و
\( \sqrt{2-\left ( -2 \right )}\overset{?}{=}-2\)
خطأ \( 2\neq -2 \)
نلاحظ أن لدينا جذر واحد فقط وهو \((x = 1)\) عبارة عن حل صحيح للمعادلة الجذرية, بينما \((x = -2)\) عبارة عن جذر كاذب. لذا فإن الحل \((x = -2)\) مرفوض لأنه حل غير صحيح للمعادلة. لذا من المهم أن نتذكر اختبار حلول المعادلات الجذرية التي نحصل عليها لكي نتأكد من عدم وجود الجذور الكاذبة!
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
مفهوم المعادلات الجذرية.
مثال على كيفية حل المعادلات الجذرية.
كيفية استخدام الآلة الحاسبة
هنا تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس المثال على الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريبا.