الأعداد المركبة
هذا القسم يدخل في مقرر كل من رياضيات 2b ورياضيات 2c.
في قسم معادلات الدرجة الثانية البسيطة وصلنا إلى أن هنالك معادلات من الدرجة الثانية ليس لها حلول حقيقية. في هذا القسم سنتعلم كيف يمكننا التعامل مع مثل هذه المواقف وذلك من خلال دراسة مفهوم ما يُسمى بالأعداد التخيُّلية (imaginära tal) والتي يمكننا استخدامها مع الأعداد الحقيقية لتكوين ما يُسمى بالأعداد المركبة.
سابقا لاحظنا أن معادلة الدرجة الثانية التالية لا يمكننا حلها
$$x^{2}+25=0$$
وذلك لأن:
$$x=\sqrt{-25}$$
وبما أنه حتى الآن ليس لدينا وسيلة لحساب الجذر التربيعي للأعداد السالبة لا يمكننا حل ذلك.
وهذا ما كان يُعتبر أمر مزعج حسب اعتقاد علماء الرياضيات في السابق حيث لا توجد لديهم طريقة للتعبير عن حل العديد من معادلات الدرجة الثانية. في القرن الثامن عشر وصل عالم الرياضيات الشهير ليونارد أويلر إلى أنه يمكن حل هذه المعادلات بإدخال نوع جديد من الأعداد وذلك باستخدام الوحدة التخيلية (imaginära enheten) \(i\) وحاصل تربيعها يساوي \(-1\).
فيما يلي خصائص هذه الوحدة التخيلية \(i\):
$$i=\sqrt{-1}$$
$$i^{2}=-1$$
الآن أذا استخدمنا هذا المفهوم الجديد يمكننا إعادة كتابة المعادلة أعلاه كما يلي:
$$x=\pm\sqrt{-25}$$
$$x=\pm\sqrt{-1\cdot25}$$
$$x=\pm\sqrt{i^{2}\cdot5^{2}}$$
بالتالي يمكننا حساب قيمة \(x\) كما يلي:
$$x=\pm\sqrt{i^{2}\cdot5^{2}}$$
$$x=\pm5i$$
$$\begin{cases} x_{1}= 5i\\ x_{2}= -5i \end{cases}$$
وهذا النوع من الأعداد يُسمى بالأعداد التخيلية (imaginära tal).
العدد المركب هو عدد يتألف من جزء حقيقي وجزء تخيلي. وفيما يلي مثال لعدد مركب
$$3+5i$$
في المثال أعلاه العدد 3 هو الجزء الحقيقي والعدد \(5i\) هو الجزء التخيلي للعدد المركب. العدد المركب الذي لا يحتوي على جزء حقيقي يُسمى بعدد تخيلي بحت (حلي معادلة الدرجة الثانية أعلاه، \((x_1 = 5i)\) و \((x_2 = -5i)\) عبارة عن مثالين على العدد التخيلي البحت).
بصورة عامة عادة ما تُكتب الأعداد المركبة كما يلي
$$z=a+bi$$
حيث أن \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان و \(i\) هي الوحدة التخيلية؛ \(a\) هو الجزء الحقيقي و\(b\) هو الجزء التخيلي.
عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد المركبة بالحرف \( \mathbb {C}\)، وتشمل جميع الأعداد التي يمكن كتابتها في الصورة العامة أعلاه.
بالإضافة إلى هذه القيمة النظرية للأعداد المركبة التي يمكن استخدامها للتعبير عن الحلول الغير حقيقية لمعادلات الدرجة الثانية، يمكن أيضا استخدام الأعداد المركبة بشكل كبير في علوم الفيزياء، بما في ذلك وصف الحركات الموجية في مجال الكهرومغناطيسية.
فيديوهات الدرس (باللغة السويدية)
شرح مفهوم الأعداد المركبة.
حل معادلات الدرجه الثانيه التي لها جذور مركبه.
إستخدام الآله الحاسبة
هنا تم استخدام الآلة الحاسبة البيانية (Casio FX-CG20).
شاهد نفس المثال على الآله الحاسبة البيانية (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من الماركات الأخرى لديها نفس الوظائف تقريبا.