جمع وطرح الكسور
في قسم الأعداد الكسرية ذكرنا أنه كلما قلّ عدد أجزاء شيء ما تم تقسيمه، كلما زاد حجم كل جزء. الأجزاء ذات الأحجام المختلفة يمكن أن تسبب مشكلة عند عملية جمع أو طرح الكسور. لذلك سنستعرض في هذا القسم كيفية جمع وطرح الكسور.
كمثال على أن الأجزاء قد تكون ذات أحجام مختلفة سندرس الكسرين \(\frac{1} {3} \) و \(\frac{1} {4}\)، فأذا قسمنا بيتزا الى ثلاث أجزاء ستكون القطعة منها أكبر من القطعة إذا قسّمنا نفس البيتزا الى أربع أجزاء. أي أن قيمة الكسر الأول لا تساوي قيمة الكسر الثاني, لأن اختلاف المقامات يجعل قيمة الكسور غير متساوية في هذه الحالة. فعندما نجمع أو نطرح الأعداد الكسرية يجب علينا أن نفكر في مقامات الكسور.
جمع وطرح الكسور ذات المقامات المشتركة
الكسور التي لها مقام مشترك أي أن الأعداد في المقامات لها نفس القيمة يمكن جمعها أو طرحها مباشرة، لأنها كسور قابلة للمقارنة. وفي هذه الحالة فقط نجمع أو نطرح بسطي الكسرين ونستخدم المقام المشترك دون تغيير.
مثال على هذا، الكسرين أدناه لهما مقام مشترك وهو 5. يمكننا جمعهما مباشرة على النحو التالي:
$$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$$
بنفس الطريقة يمكن طرح الكسور ذات المقام المشترك. وفي هذه الحالات فقط نطرح بسطي الكسرين ونترك مقامهما المشترك دون تغيير.
مثال على طرح الكسور ذات المقام المشترك:
$$ \frac{3}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3-2}{5}=\frac{1}{5}$$
جمع وطرح الكسور ذات المقامات المختلفة
إذا كانت الكسور التي نريد جمعها أو طرحها ذات مقامات مختلفة لا يمكننا إجراء هذه العمليات الحسابية مباشرة. يجب أولا أن نعيد كتابة أحد الكسرين (على الأقل) بحيث يصبح لهما مقام مشترك. وذلك بمضاعفة أو إختصار الكسور ليكون لها مقامات مشتركة. بعدها يمكننا جمع أو طرح الكسور بنفس الطريقة أعلاه.
لنفترض أننا نريد حساب مجموع ما يلي:
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$$
نلاحظ على الفور أن الكسرين أعلاه ليس لهما مقام مشترك. لذا يجب أن نعيد كتابة التعبير أولا، بحيث يكون للكسرين مقام مشترك.
أسهل طريقة لمعرفة المقام المشترك للكسرين هي ضرب مقامي الكسرين في بعضهما. في هذه الحالة سيكون المقام المشترك هو:
$$4\cdot3=12$$
إذن يمكننا إعادة كتابة الكسرين ليكون مقام كل منهما 12, وذلك بمضاعفة الكسر الأول بالعدد 3, ومضاعفة الكسر الثاني بالعدد 4. أي بضرب بسط ومقام الكسر الأول فـي 3, وضرب بسط ومقام الكسر الثاني فـي 4. بعدها نجمع الكسرين اللذين لهما مقام مشترك (12).
بإجراء هذه العمليات سنحصل على المجموع التالي:
$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}+\frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$$
بالنسبة للطرح ينطبق نفس الشيء. نتأكد أولا من أن الكسرين لهما مقامين مشتركين ثم نحسب الفرق بين البسيطين فقط.
مثال على كيفية طرح الكسور ذات المقامات المختلفة:
$$\frac{1}{7}-\frac{1}{5}$$
بنفس الطريقة التي استخدمناها مع جمع الكسور، نقوم أولا بإعادة كتابة الكسرين بحيث يكون لهما مقام مشترك، ثم نطرح البسطين:
$$ \frac{1}{7}-\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 5}{7\cdot 5}-\frac{1\cdot 7}{5\cdot 7}=\frac{5}{35}-\frac{7}{35}=-\frac{2}{35}$$
في هذه الحالة كانت النتيجة عدد سالب وهي ربما لم تكن متوقعة، ولكن لأن السُبع أقل من الخُمس كان الفرق سالب.
كتابة الكسور في صورة ممزوجة (مختلطة)
في بعض الأحيان عندما نجمع كسرين يمكن الحصول على مجموع أكبر من 1. وهذا مثال على كيف يمكن أن يحدث هذا:
$$\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5}{4}=\frac{4}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$
يمكن كتابة هذه النتيجة على النحو التالي:
$$1\frac{1}{4}$$
في هذه الحالة نقول أن الكسر مكتوب في صورة ممزوجة أو مختلطة (كسر مع عدد صحيح).
| تذكر أن! | عندما يكون المقام مشترك لا يتغير, البسوط فقط هي التي سيتم جمعها أو طرحها. إذا قُسمت بيتزا الى 8 قطع متساوية وأكلت منها قطعة أولا, ثم أكلت منها قطعة أخرى فهذا يعني أنك أكلت ثُمنين (2/8 = 1/8 + 1/8) من البيتزا. |
فيديوهات الدرس (بالسويدية)
هنا نستعرض معني عملية جمع وطرح الكسور وكيفية اجرائهما.
وسيلة مساعدة (آلة حاسبة)
هنا تم حل هذا التمرين بإستخدام الآلة الحاسبة الراسمة (Casio FX-CG20).
شاهد نفس التمرين تم حله باستخدام الآلة الحاسبة الراسمة "البيانية" (Casio FX-9750GII).
الآلات الحاسبة البيانية من العلامات التجارية الأخرى لديها وظائف مماثلة تقريبا.